AOR迭代法最优参数的选择和预处理的构建

摘要

迭代方法适用于求解大规模线性方程组，特别对于求解稀疏线性系统具有优势。A.Hadjidimos在1978年提出了加速超松弛(AOR)迭代方法。众所周知，通过给AOR迭代方法中的参数ω和γ赋以特殊的值，会得到Jacobi，Gauss-Seidel(GS)，Successive Overrelaxation(SOR)迭代方法以及它们相应的外推方法。
　　近三十年来，关于用迭代方法求解p-循环相容次序阵的最优参数的理论层出不穷，当取p=2时，得到2-循环相容次序阵，这一类矩阵常来自利用有限差分方法离散二阶椭圆或抛物线型偏微分方程(PDEs)。论文的第一章，给出一种新的方法详细讨论在Jacobi矩阵J的特征值全为纯虚数或者全为实数的前提下，用AOR方法求解2.循环相容次序阵的最优参数。给出了与Y G.Saridakis和Theodore S.Papatheodorou(Intern.J.Comput.Math.27(1989)223-242)的结果的比较，指出他们错误的结论，并阐明笔者的结果更加明确与正确。
　　最小二乘问题在经济学，统计学，图象与信号处理等应用领域广受关注，迭代方法常应用于求解超定系统的最小二乘问题中。论文的第二章，将讨论利用AOR方法求解亏秩最小二乘问题的收敛域与最优参数，这也是过去与现在关于AOR方法的一个课题。最后，通过细致的证明给出利用AOR方法求解亏秩线性最小二乘问题的最优参数。这一章的结果建立在第一章的一些结论上。
　　在最后一章，提出一个新的预处理矩阵I+Sα+SM+Sδ，研讨关于M-矩阵的预处理AOR迭代方法。这个新的预处理矩阵是利用系数矩阵A的上三角部分绝对值最大的元素，次对角线元素及最后一列元素构造。证明该方法能提高AOR迭代方法的速率，并通过与已有三个预处理矩阵的比较证明预处理矩阵更有效。
　　在每一个课题对应的节给出数值例子。

目录

文摘

英文文摘

Contents

前言

0.1 记号

0.2 简介

第1章 2-循环矩阵的最优AOR方法

1.1 导言及预备内容

1.2 收敛域

1.3 最优参数

1.3.1 J的特征值全为纯虚数的情况

1.3.2 J的特征值全为实数的情况

1.4 数值例子

第2章 亏秩最小二乘问题的最优AOR方法

2.1 导言及预备内容

2.2 最优参数

2.3 数值例子

第3章 关于M矩阵的一个新的预处理AOR方法

3.1 导言及预备内容

3.2 预处理子为I+Sα+SM+Sδ的AOR方法

3.3 数值例子

参考文献

致谢