Camassa-Holm方程和Benjamin类方程的一些新的保能量算法

摘要

能量守恒是力学系统中的一个关键的性质，它在解的性质的研究中扮演着重要的角色，在一些例子中，能量守恒性质被直接用来证明数值方法的稳定性.能量是很多发展方程的最重要的不变量，因此保能量方法引起了很多科研工作者的兴趣，并得到了快速的发展.
　　在本文中，我们研究了两个非局部的偏微分方程的全局能量守恒性质，通过在空间上使用傅里叶拟谱、有限元、小波配置方法离散，在时间上用平均向量场方法、离散偏导方法离散，我们分别对辛形式下的Camassa-Holm方程（第二章中）和改进的多辛形式下的Benjamin类方程（第三章中）构造了几个保全局能量的方法.我们还在第三章中讨论了平均向量场和离散偏导方法的相关性.第四章的数值实验印证了前两章中的理论分析.

目录

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Contents

摘要

Abstract

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 The Camassa-Holm equation

§2．1 Multi-symplecticity of the Camassa-Holm equation

2．1．1 Lagrangian and multi-symplectic formulations

2．1．2 The local properties of the Camassa-Holm equation

§2．2 Energy-preserving algorithms

2．2．1 Introduction of the variational derivative

2．2．2 Fourier pseudospectral method and AVF method

2．2．3 Galerkin method and AVF method

2．2．4 Fourier pseudospectral method and DPD method

2．2．5 Wavelet collocation method and DPD method

Chapter 3 The Benjamin-type equations

§3．1 Multi-symplecticity of the Benjamin-type equations

3．1．1 A modified multi-symplectic formulation

3．1．2 The local properties of the Benjamin-type equations

§3．2 The operators H，L and their discretizations

3．2．1 Introduction of Hilbert transform H

3．2．2 Discretization of the non-local operators H and L

§3．3 Energy-preserving algorithms

3．3．1 Fourier pseudospectral method and AVF method

3．3．2 Galerkin method and AVF method

3．3．3 Wavelet collocation method and AVF method

Chapter 4 Numerical Examples

§4．1 Numerical simulation for the Camassa-Holm equation

§4．2 Numerical simulation for the Benjamin equation

Chapter 5 Concluding remarks

Bibliography

致谢