求解振荡常微分方程的辛指数拟合Runge-Kutta(-Nystrom)型方法

摘要

物理学中的电路问题、弹性力学、天体力学、量子物理等领域中的许多问题都可以归结为解具有振荡性质的一阶或二阶的常微分方程（组）（ODEs）。本论文主要研究数值求解这类振荡常微分方程初值问题（ⅣPs）Runge-Kutta（RK）型及Runge-Kutta-Nystrom（RKN型）保结构方法。
　　 RK方法从提出至今已有百年的历史，其主要用来求解一阶常微分方程（组）的初值问题（ⅣP）。二阶常微分方程（组）当然可以通过增加“速度”分量方程而化为一阶方程组，从而用RK方法求解。后来Nystrom提出了直接求解二阶方程组的RKN方法。另一方面，20世纪60年代J.Butcher建立了根数（rootedtree）与B级数的理论，使得推导高价方法成为现实。最近的科学研究与工程应用进一步要求数值方法能够保持系统原有的某些重要性质（如系统的某些不变量，特别是Hamilton系统的辛性、Hamilton函数）。我们的工作重点就是针对振荡微分方程的结构特点，设计有效的数值方法，保持精确解的定性行为。
　　 本论文分为四章。
　　 第一章概述了微分方程的基本概念，包括常微分方程（ODE）初值问题解的存在唯一性，讨论数值方法的相容性、收敛性、稳定性，介绍了求解Hamilton系统的辛Runge-Kutta方法，以及求解振动问题的保结构方法中最常用的技术之一-指数拟合。
　　 第二章提出了一类新的RK型方法（我们将其记为RKNd），新方法的内级有比传统的RK方法更高一阶的精度。在适当的简化假设条件下利用阶条件导出了级数为二的三种显式和四种隐式的新方法，并对各个新方法的稳定区域，色散阶和耗散阶进行了分析。应用这些方法求解一些典型的一阶、二阶问题的数值结果显示：新方法更适合于求解二阶微分方程。
　　 第三章研究了与第二章所给出的新方法相应的指数拟合型方法。我们推导出了方法的阶条件，进而给出了级数为二的三种指数拟合型方法，并对这三种方法的稳定区域，色散阶和耗散阶进行了分析。应用这些方法求解一些典型的二阶振荡问题所得到的数值结果表明，指数拟合的这些新方法的计算效率明显高于指数拟合的RK方法。
　　 第四章主要研究了求解Hamilton问题的对称辛指数拟合RKN方法。我们给出了修正RKN方法的对称性条件、辛性条件、指数拟合条件及代数阶条件，并构造了二级二阶、三级二阶，四级四阶的新方法，对每个新方法的周期稳定区域，色散阶和耗散阶进行了分析。数值实验结果表明，本章的对称辛指数拟合RKN方法与非对称方法在计算效率和保持Hamilton函数值方面相比具有明显的优势。
　　 概括起来，本论文主要贡献有：
　　 ●给出了一类新的RK型方法，这类新方法的内级的精确性至少比传统RK方法高一阶；
　　 ●基于这些新的RK型方法，构造了相应的指数拟合方法；
　　 ●针对Hamilton问题，研究了一类对称辛指数拟合RKN方法。

目录

文摘

英文文摘

第一章 预备知识

1.1 引言

1.2 常微分方程初值问题

1.3 微分方程数值解法的基本思想与途径

1.4 微分方程数值求解中的基本概念

1.5 Runge-Kutta方法与Runge-Kutta-Nystrom方法

1.6 Hamilton系统及辛方法

1.7 指数拟合方法

第二章 求解初值问题的RKNd方法

2.1 引言

2.2 新方法的提出

2.3 新方法阶条件的推导

2.3.1 数值解的导数

2.3.2 精确解的导数

2.4 具体新方法的构造

2.4.1 显式方法的构造

2.4.2 隐式方法的构造

2.5 新方法的稳定性和相延迟分析

2.5.1 稳定性分析

2.5.2 相延迟分析分析

2.6 数值实验

2.6.1 显式方法的数值实验

2.6.2 隐式方法的数值实验

2.7 结论

第三章 指数拟合的RKNd方法

3.1 引言

3.2 显式修正RKNd方法

3.3 指数拟合条件

3.4 代数阶条件

3.5 显式指数拟合RKNd方法

3.6 稳定性和相延迟分析

3.6.1 稳定性分析

3.6.2 相延迟分析分析

3.7 数值实验

3.8 结论

第四章 对称辛指数拟合的修正RKN方法

4.1 引言

4.2 修正RKN方法的对称、辛、指数拟合、阶条件

4.2.1 对称条件

4.2.2 辛条件

4.2.3 指数拟合条件

4.2.4 代数阶条件

4.3 对称辛EFRKN方法的构造

4.4 新方法的相延迟和周期性区域

4.5 数值实验

4.6 结论

总结和展望

参考文献

致 谢