有限元模拟及有限元方程的快速解技术在电磁场中的应用

摘要

有限元技术是模拟具有不规则边界结构的强有力的工具.在这里我们用有限元模拟一些经典的电磁问题,这些问题都不能用常规方法求解.在该文里,我们用有限元技术模拟波导,微带等具有开边界条件的一些典型的结构,最后,我们得到了一个复数的超大规模的稀疏非正定线性方程组,而且这种矩阵的条件数很差.由于上述特点,用直接解法往往没有办法求解,甚至就是用一些常规的迭代法求解也很困难.在这里,我们重点考虑了用不完全分解预处理技术结合共轭梯度迭代法求解此类型的大型非Hermit有限元方程.由于矩阵的病态性,标准的不完全分解法往往会失效,因为在不完全分解的过程中会在对角线的位置出现零元素从而导致分解失败,或者分解出来的三角矩阵不稳定,从而根本无法用于有限元方程的迭代求解.在这里我们在不完全分解(ILU)进行以前对系数矩阵加一个对角扰动,使得系数矩阵的实部更加正定,从而三角分解算法更为稳定,分解出来的预处理矩阵从而也更为的稳定.我们的主要目的是估计对角扰动的不完全分解预处理用于求解由有限元离散Helmhotz阵所得到的高阶非正定矩阵的效率.在这里,我们也考虑并且比较了其他的一些常用的预处理技术.我们对一些从工业与学术中分离出来的模型问题进行了有限元模拟,数值结果显示,由于预处理技术的应用,特别是不完全分解预处理的应用,极大的减少了迭代的步数.并且,我们的不完全分解预处理技术比际准的不完全分解预处理更为稳定.

目录

文摘

英文文摘

1引 言

1.1研究背景概述

1.2有限元模拟与大型方程组求解

1.3主要工作

2.有限元法简介

2.1有限元法的基本概念

2.2有限元法的历史

2.3有限元法广泛应用的原因

2.4有限元分析的发展与展望

2.4.1有限元发展方向及重大进展

2.4.2国内发展情况和前景

3有限元建模方法

3.1边值问题

3.2有限元的基础—里兹变分与伽辽金方法

3.2.1变分法原理

3.2.2里兹变分方法

3.2.3伽辽金(Galerkin)方法

3.3子域展开函数求解--有限元模型的建立

3.4有限元建模的基本步骤

3.4.1区域的离散

3.4.2选择插值函数

3.4.3建立方程组公式

3.4.4有限元方程组的求解

3.5有限元方程系数矩阵的特点

4有限元方程的解法

4.1线性方程组的求解问题简介

4.2矩阵迭代的基本原理

4.3Krylov空间与共轭梯度法

4.3.1Krylov子空间迭代

4.3.2共轭梯度法及其推导

4.4矩阵矢量积的计算

5有限元矩阵的预处理技术

5.1稀疏矩阵的快速算法

5.2预处理技术

5.3常用的预处理方法

6数值实验结果

结 论

致 谢

参考文献

学习期间发表论文