基于H-Matrix技术的积分方程快速迭代方法的研究

摘要

随着军事和民用技术的不断发展,如何快速、准确地分析三维复杂目标的电磁散射和辐射特性以及复杂微波电路问题,长期以来一直是计算电磁学理论和应用领域的研究重点。近年来,不少学者提出大量快速高精度方法来解决上述问题。本文主要关注的是频域电场积分方程数值解法中的快速迭代解法。特别研究了基于阻抗矩阵的低秩压缩快速算法中的自适应交叉近似(ACA)和矩阵分解算法(MDA-SVD)以及线性方程组快速迭代求解方法和预条件技术。主要内容包括以下几个方面：
　　 ⑴在深入研究和应用ACA和MDA-SVD的基础上,根据矩量法离散电场积分方程导出稠密阻抗矩阵是对称的H-Matrix,采用纯代数方法构造了阻抗矩阵的UniformH-Matrix表示。从而进一步减少计算过程中的内存需求和矩阵矢量乘的计算复杂度,并且严格证明该代数方法是误差可控的。
　　 ⑵在频域电场积分方程快速直接解法LOGOS中,多层简单稀疏方法(MLSSM)是一种将稠密阻抗矩阵进行稀疏表示的有效方法。利用阻抗矩阵的对称性,本文提出了一种有效的误差可控的代数方法来改进MLSSM,最终将阻抗矩阵表示成H2-Matrix的形式,并且在改进MLSSM的H2-Matrix表示形式基础上构造了相应的矩阵矢量乘算法。从而发展了一种MLSSM快速迭代求解方法,并将其用来分析电磁散射、平面微带电路和半空间问题。
　　 ⑶给出了一种应用于求解电磁场积分方程问题的内外迭代求解算法FGMRES-DR。在FGMRES-DR中,内迭代过程中采用近场子块作为预条件矩阵,外迭代采用已有的GMRES-DR方法将最小特征值对应的特征向量添加到下一次的Krylov子空间之中,从而加快迭代收敛速度,并利用FGMRES-DR分析自由空间复杂目标和腔体的散射问题。
　　 ⑷针对阻抗矩阵的最小特征值对收敛速度影响很大,基于阻抗矩阵特征谱的信息构造了一种复移位预条件技术方法,并将其与已有的稀疏近似逆(SAI)相结合得到一种新型双步预条件方法,大大加快了线性方程组的求解,并将其应用于求解电磁散射单站RCS的计算。