一类无界变差函数的分数阶微积分及其分形维数

摘要

分形理论的探索在近年来引起了人们的普遍关注。分形研究的主要工作在于分形维数的估计。人们对各类的分形函数及其分数阶微积分的分形维数估计做了系统的研究。本文主要针对无界变差函数展开了讨论，得到了一些基本的性质，并进一步深入。叙述了其在更普遍的情形下的性质，研究了这些无界变差函数及其分数阶积分的分形维数。 本文首先给出了四类分形维数和两类分数阶微积分的定义。其次，在有界变差定义的基础上，通过二分法较为完整的研究了无界变差的定义。 其次，着重讨论了有界变差的连续函数的相关性质，证明出有界变差函数的Hadamard分数阶积分仍为有界变差的，并相应地给出了此类函数的Hadamard分数阶积分的分形维数。 然后，构造了两种一维仅包含单个无界变差点的连续函数，叙述了二者之间的联系与区别。并在构造的基础上，分析了此类函数的相关性质，给出了此类函数的分形维数。 再者，构造了一维包含无穷可列个和不可列个无界变差点的连续函数，并研究了不可列个无界变差点的连续函数的Box维数，给出了相关定理与推论。 最后，进行了全文总结并给出了未来工作展望。

目录

声明

摘要

1 引言

1．1 选题的意义及应用前景

1．2分数阶微积分

1．3 无界变差函数的分数阶微积分及其分形维数

1．4论文主要安排

1．5 符号简要说明

2预备知识

2．1 分形维数

2．1．2 Box维数

2．1．3 Packing维数

2．1．4 修改的Box维数

2．2分数阶微积分

2．2．1 Riemann-Liouville分数阶微积分

2．2．2 Hadamard分数阶积分

2．3无界变差函数

3有界变差的连续函数的Hadamard分数阶积分的分形维数

3．1全有界变差情形

4 一维单个无界变差点的连续函数构造及其分形维数

4．1 一维单个无界变差点的连续函数构造

4．2 f(x)的性质及其分形维数

5 一维无穷可列个及不可列个无界变差点连续函数构造及其分形维数

5．1 一维无界变差的连续函数构造

5．2 F(x)的分形维数

展望与总结

致谢

参考文献

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