几类图像恢复的高阶TGV变分模型和算法研究

摘要

变分模型一直是反问题建模和计算机视觉研究的热点之一，已经被广泛地应用到图像处理的各个领域，比如图像恢复、融合、配准、分割以及医学图像重建等等。这是因为正则化技术有着强大的理论基础，方便人们在无穷维空间中分析模型的性能，如适定性、解的性质。早期的全变分(total variation，简称TV)模型，由于有界变差(bounded variation，简称BV)空间容许分片常数的存在，恢复的图像往往伴随阶梯效应。此外，传统的正则项不能有效刻画图像的结构化纹理，导致重建结果丢失了许多细节信息。本文提出了几类改进的高阶变分模型，包括可以有效去除阶梯效应的广义全变分(total generalized variation，简称TGV)模型和两个基于Shearlet变换和oscillation TGV的卷积下确界纹理保持模型。本文的研究工作以及创新点主要体现在以下几个方面: 1.针对低阶TV恢复模型具有阶梯效应的缺点，本文提出用二阶TGV变分模型处理脉冲和泊松噪声下的图像去模糊问题。由于非二次保真项模型的不可微性和非线性性，本文引入了交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，简称ADMM)。通常，把ADMM直接拓展到多个block变量最小化问题时的收敛性难以保证，采用预测校正的方案来确保算法的收敛性，同时还给出了每一个子问题的简单求解步骤。实验结果表明基于TGV的模型有效地消除了阶梯效应，在视觉和评价指标上都可以获得更好的恢复结果，而且改进的ADMM算法可以较快地达到最优值。另外，本文还给出了多通道TGV对偶形式的定义，并将其应用到彩色图像恢复问题中。 2.传统的TV和TGV变分模型不能较好地恢复图像纹理，本文提出了一个基于TGV和Shearlet变换的卷积下确界正则项，并应用于图像去噪、修复和欠采样MRI重建问题。因为Shearlet与普通的Wavelet相比，具有方向敏感性，可以有效地表示奇异部分（边缘）的位置和方向，所以文中用TGV来表示分片平滑的卡通分量，用Shearlet变换的L1范数来刻画振荡纹理分量。数值实验表明提出的变分模型不仅恢复了图像光滑部分，而且更好地重建出纹理等细节特征。在理论分析方面，在L2空间中给出了一般模型解的存在性证明。另外，新的正则项可以扩展到JPEG解压缩问题中，并与最先进的学习方法做了比较，进一步阐述了模型在纹理保持方面的有效性。 3.因为正弦函数具有周期振荡性，所以把它作为核空间的变分正则项可以检测振荡的纹理。受二阶TGV的启发，本文提出了可以表示图像中特定方向和尺度纹理的oscillation TGV正则项。根据对偶理论，建立了oscillation TGV在Lp空间中的下半连续性和强制性，以及其所在空间与BV空间的等价性。针对部分图像具有不同方向和尺度的纹理，设计了m重卷积下确界正则项，和oscillation TGV一样，文中也详细地证明了卷积下确界项的下半连续性和强制性等性质，而且还给出了基于该正则项一般模型的解的存在性证明。此外，引入一阶Primal-Dual算法来解决卷积下确界模型的图像重建问题，并且估计了算法收敛条件中的算子范数。数值实验表明提出的模型可以较好地恢复图像中的纹理部分，并且与现有的先进方法相比具有竞争力。最后，针对实际应用中m重卷积下确界模型的复杂性问题，本文构造了一种自适应的oscillation TGV项，让模型根据局部特征自适应地获得该区域纹理的方向和尺度，有效地简化了模型。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1研究背景和意义

1．2变分模型的研究动态

1．3纹理建模的研究现状

1．4本论文的主要工作

2 数学预备知识

2．1 Banach空间

2．2 BV空间

2．3凸优化理论

2．4 Fenchel-Rockafellar对偶

2．5几类临近算子

3 图像去噪和去模糊中基于TGV的高阶模型及其算法

3．1模型的提出

3．2 Prediction-Correction ADMM算法

3．2．1 脉冲噪声模型算法

3．2．2泊松噪声模型算法

3．3数值模拟与分析

3．4彩色图像的处理

3．5伽马和超声噪声下的非线性保真项模型

3．5．1伽马噪声模拟分析

3．5．2 Speckle噪声模拟分析

3．6本章小结

4 基于TGV和Shearlet的卷积下确界纹理恢复模型

4．1 Shearlet变换

4．2卷积下确界模型及解的存在性证明

4．3模型的离散化和算法

4．3．1离散化模型

4．3．2 Primal-Dual算法及收敛条件

4．4数值模拟与分析

4．4．1图像分解和去噪

4．4．2 图像修复

4．4．3欠采样MRI重建

4．5本章小结

5 一种基于卡通-纹理分解的JPEG解压缩模型及其算法

5．1 JPEG解压缩变分建模

5．2卡通-纹理解压缩模型

5．3临近Primal-Dual算法

5．3．1模型的离散化

5．3．2广义临近算法和收敛性条件

5．4数值模拟与分析

5．4．1压缩率q=10

5．4．2压缩率q=20

5．5本章小结

6 Oscillation TGV纹理表示和多方向、多尺度的结构化纹理恢复模型

6．1 Oscillation TGV的下半连续性和强制性

6．2 m重卷积下确界oscillation TGV

6．2．1 下半连续性和强制性

6．2．2一般模型解的存在性证明

6．3离散和优化算法

6．3．1有限差分法

6．3．2离散核空间的表示

6．3．3数值优化算法及收敛条件

6．4数值模拟与分析

6．4．1卡通／纹理分解和图像去噪

6．4．2 图像修复

6．4．3欠采样MRI重建

6．5本章小结

7 自适应方向和尺度的oscillation TGV模型及其迭代算法

7．1 自适应方法的提出

7．2交替方向极小化算法

7．2．1 (u1，w1，u2，w2)子问题

7．2．2(~c，wc)子问题

7．3数值模拟与分析

7．3．1 图像分解和去噪

7．3．2图像修复

7．3．3欠采样MRI重建

7．4本章小结

8 总结与展望

8．1本文工作总结

8．2下一步工作展望

参考文献

致谢

附录