解线性方程组Galerkin方法收敛性质的研究

摘要

本文研究求解大型线性方程组Galerkin类方法的收敛性质，包括：重新开始FOM算法的补足收敛性质及其应用；预处理CG算法的误差递减性质。 由于执行整体FOM算法的计算成本会随着迭代步数的增加而变得不可接受，在实际求解问题时一般会使用重新开始的FOM算法。传统观点认为，FOM算法前次迭代循环所累积的信息，比如Krylov子空间基向量之间的正交性等，在重新开始时会被完全抛弃。针对这一问题，本文给出另外一种看法。第二章描述和研究了重新开始FOM算法的补足收敛性质。基于FOM残量多项式与Arnoldi过程中Ritz向量之间一个联系，揭示了在FOM算法每次重新开始时，前次迭代循环的一些重要信息能够被自动保留在迭代解中，使得下次迭代循环能够与前一循环相互协调、补足，达到一种平衡。第三章基于重新开始FOM算法的补足收敛性质，设计了求解线性方程组问题的积混合FOM算法和求解矩阵特征值问题的Arnoldi-FOM算法。 CG算法由于编程简单、效率出色并且误差按照A-范数满足极小化性质，已成为求解对称正定方程组问题最著名的方法之一。如果与NR/NE技术相结合，CG算法也能够用于求解非对称线性方程组问题。现有的文献证明了CGNR算法的误差按照Eculidean范数是递减的。但由于NR/NE技术的应用会显著增加系数矩阵的条件数，对这样的方程组进行预处理往往是必须的。本文第四章建立并证明了预处理CG算法的误差递减性质，即当预处理矩阵M也是对称正定时，算法误差按照M-范数满足递减性。基于这一性质分别论述了预处理CGNR算法和预处理CGNE算法的误差递减性质。