切波变换的逼近性质及高维奇异析

摘要

由于切波变换具有高度的方向敏感性和最优稀疏逼近性，因此切波变换在图像去噪，图像分割，边缘分析与检测，图像增强，融合，纹理分类，奇异性分析，反演问题等领域得到广泛应用。本文深入研究了具有群结构的切波框架以及锥型切波框架的构造和性质，切波变换反演公式的收敛性以及切波变换的奇异性分析。全文主要包含以下内容： (1)讨论不规则切波框架存在的必要和充分条件。对于这个问题，本文首先给出了不规则切波系统拥有切波框架界的必要条件，证明了如果不规则切波系统拥有切波上框架界，那么空间，尺度，剪切参数一定是相对分离的，证明了当空间，尺度，剪切参数满足一定条件时，如果不规则切波系统拥有切波下框架界，那么下切波密度一定恒正，运用这些结果到只拥有膨胀或平移的系统中去，获得了一些新的结果，其次，本文证明了对于由P．Kittipoom等介绍的切波生成函数可行集，每一个具有高切波密度的相对分离点列都可以生成一个切波框架，并给出这些框架界的评估式。再次，本文研究了这些框架的稳定性，显式稳定界被给出。最后，利用I和II型伪样条，本文构建了一类具有紧支撑的不规则切波框架来说明我们的结果。 (2)研究了广义伪样条及由其构成的切波框架。本文引进了Ⅰ和Ⅱ型广义伪样条，这些样条具有紧支撑和非常好的正则性，并用这些样条构建了具有对称紧支撑的切波框架。具体来说，本文首先利用傅立叶分析研究了广义伪样条的正则性，稳定性，收敛性和线性独立性。其次，本文利用Ⅱ型广义伪样条构建了一类具有显式分析形式的对称紧支撑切波框架，这在工程应用上很重要．对这些切波框架，本文证明它们对卡通类图像具有稀疏逼近性质。 (3)研究了连续切波变换反演公式的级数表示。本文首先引入两类由切波变换反演公式定义的无穷级数和有限级数，并研究了由P．Kittipoom等人介绍的切波生成空间，得到这个切波生成空间的一些重要性质。其次，利用这些结果本文显示对于这个切波生成空间，当采用密度趋于无穷时由本文定义的无穷级数按/2_范数收敛于重构函数。对于可允许函数空间，当采用密度趋于无穷时由本文定义的有限级数按/2_范数收敛于重构函数。 (4)研究了高维切波变换反演公式的收敛性。对切波变换而言，切波变换反演公式的逐点收敛性是一个崭新研究目标，逐点收敛在实际应用中比L2范数收敛更为重要。对一对可允许切波，本文显示尽管高维连续切波变换反演公式中积分按L2范数收敛，但当考虑逐点收敛时，它是不成立的，本文给出了它逐点收敛成立时的充分条件。此外，对于可允许函数空间，本文显示当采用密度趋于无穷时，由本文定义的有限级数逐点收敛于重构函数。 (5)研究了切波变换高维奇异性分析。在高维数据处理中过程中，确定高维平方可积函数的奇异性有着重要的意义，它可作为高维数据处理的基础。本文首先给出了高维平方可积函数的连续切波变换重构公式：其次研究了几种特殊函数的切波系数的衰减性质：最后运用重构公式中的切波系数刻画了平方可积函数的奇异支撑集。本文的结果推广了G.Kutyniok，S．Dahlke等给出的一些已知结果。

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