三时间尺度分段线性系统的动力学行为及其机理分析

摘要

非光滑动力系统由于在工业和工程领域具有普遍存在性和广泛应用性，因此，该系统中存在的复杂非线性现象及其产生的分岔机理是目前非线性动力学研究的热点之一。众多研究表明,相比光滑系统，非光滑系统不仅可能发生前者具有的常规分岔，还可能发生前者不具备的特殊分岔，例如滑动分岔、擦边分岔、角点碰撞分岔等。分段线性系统作为第三类非光滑系统的典型，在飞行控制、机器人控制、化学工业等领域已被广泛研究，但目前对于这类系统的研究大多是基于单一时间尺度来考虑的，而许多实际应用系统却涉及到多个时间尺度，因此对含多时间尺度的非光滑系统的深入研究是十分有必要的。
　　基于以上的背景，本论文目的在于揭示三时间尺度耦合下分段线性系统的复杂动力学行为及其产生机制。首先，以经典蔡氏电路为基础，通过引入周期变化的交变电流源，并适当选择参数，建立了含三个时间尺度的四维非光滑动力系统。考察了在最快时间尺度上的广义自治系统的常规分岔，以及系统轨迹在穿越非光滑分界面时产生的非常规分岔。分析发现在不同的参数条件下，分别存在着单次穿越的非常规fold分岔和二次穿越的非常规fold/Hopf分岔。同时采用包络快慢分析法，将外激励项在极值处最快子系统的平衡点分岔图与系统相图相叠加，探讨了不同簇发振荡的产生机理，揭示了三尺度之间的相互作用机制及非光滑因素下各种非常规分岔对系统动力学行为的影响规律。
　　其次，在以上内容的基础上，通过调节非线性电阻的特性，从而增加了非光滑分界面，分析了含两对对称非光滑分界面的三时间尺度系统的动力学行为。通过平衡点稳定性分析和非光滑分岔分析，发现随着参数的变化，不同区域中对应平衡点的稳定性发生改变，导致系统簇发振荡产生的激发态和沉寂态的形式有所不同，得到了焦点到焦点的对称式fold/fold簇发和对称式fold/Hopf/fold簇发。利用包络快慢分析法讨论了不同尺度效应下系统簇发振荡时激发态与沉寂态相互转换过程中的非光滑分岔机理，并结合系统相图和时间历程图解释了三个尺度在系统轨线整个簇发振荡过程中的体现。