求分数阶偏微分方程精确解的两类方法

摘要

近年来，分数阶微分方程的应用范围已经涉及到了生物工程、高能物理、系统控制、反常扩散等诸多领域。然而关于分数阶微分方程的求解，目前并没有统一的方法。因此，对分数阶微分方程进行求解成为了一个热门的研究领域。
　　本研究介绍了分数阶微积分的相关概念，并依据修改的Riemann-Liouville导数定义将分数阶微积分的理论应用于分数阶微分方程的求解。对扩展的指数函数展开法进行了改进，并运用该方法和首次积分法分别求解了分数阶Sharma-Tasso-Olever(STO)方程，分数阶Cahn-Allen(CA)方程和分数阶Whitham-Broer-Kaup(WBK)方程组，得到了三角函数、双曲函数、有理函数、指数函数等各种类型的精确解。这些实例说明这两种求解分数阶微分方程的方法具有很好的有效性和简易性。

目录

声明

1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 研究现状

1.3 本文主要内容

2 分数阶微积分的基本概念

2.1 预备知识

2.2 分数阶微积分定义

2.3 分数阶微积分性质

3 方法介绍

3.1 扩展的指数函数展开法及其改进

3.2 分数阶首次积分法

4 分数阶STO方程的精确解

4.1 求解过程

4.2 小结

5 分数阶首次积分法的应用

5.1 分数阶Cahn-Allen方程的精确解

5.2 分数阶WBK方程组的精确解

5.3 小结

6 总结和展望

参考文献

致谢

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