定向量子代数和拓扑不变量

摘要

定向量子代数是2001年Kauffman和Radford在研究定向1-1缠绕不变量时引入的（见文[28]或[29]），拟三角Hopf代数是其主要的例子来源.定向量子代数可以确定1-1缠绕不变量.扭曲定向量子代数可以确定定向纽结和链环不变量，ribbon Hopf代数是其特例.作为对偶概念，定向量子余代数是辫子（或余拟三角）Htopf代数的推广（见文[47]）.
　　 本文重点围绕构造定向量子代数及其对偶结构展开了讨论.
　　 首先简要介绍定向量子（余）代数与拓扑不变量之间的关系，Hopf代数、（余）拟三角Hopf代数和Radford双积定理的历史背景、研究现状和本文的主要研究结果.
　　 其次我们引进扭曲张量双积，这一结构推广了CIMz积（见文[8]），Radford双积（见文[43]），扭曲smash（余）积（见文[63]），Doi-Takeuchi偶（见文[13]），Drinfel’d量子偶（见文[14]）等非交换代数结构.另一方面，我们得到了扭曲张量双积成为辫子Hopf代数的充分必要条件，进而给出了广义double量子群的概念.
　　 再次，我们引入双代数上双扭曲子的概念，然后讨论双扭曲子成为双代数的条件并使其作为著名的Radford双积的推广，并且得到扭曲张量双积是一个特殊的双扭曲子双代数，进一步我们给出了该特殊双扭曲子双代数拥有拟三角结构的充分必要条件.用我们的方法可以得到文[45]中关于Taft代数拟三角性的著名结论.
　　 最后我们主要给出了一种构造两个不同定向量子代数张量积上的定向量子代数结构的方法，Radford的结论[49，定理4.1]是该结构的一个特殊情况.进一步我们构造了一个非平凡的例子，而这一例子由Radford在文[49]中的方法不能得到.

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 课题背景及发展状况

1.2 本文的主要结论

1.2.1 扭曲张量双积和广义double量子群

1.2.2 双扭曲子及拟三角扭曲张量双积

1.2.3 两个定向量子代数张量积上的定向量子代数结构

第二章 广义double量子群

2.1 预备知识

2.2 扭曲张量双积

2.3 扭曲张量双积上的辫子结构

2.4 应用和例子

第三章 双代数上的双扭曲子和拟三角结构

3.1 预备知识

3.2 余扭曲子和双扭曲子

3.3 一类双扭曲子双代数-扭曲张量双积-上的拟三角结构

3.4 一些应用

第四章 一类定向量子代数的构造

4.1 预备知识

4.2 两个定向量子代数张量积上的定向量子代数结构

4.3 其他相关的定向量子代数结构

4.4 两个定向量子余代数张量积上的定向量子余代数结构

参考文献

附录一 尚待解决的问题

附录二 攻博期间完成论文列表

附录三 致谢