项目反应理论下的非能力因素分析——环境差异的理论分析

摘要

众所周知，教育环境对学生的成长有很大的影响，本文尝试从两个不同的角度考察环境差异带来的效应，即能力效应和难度效应，从而为教育环境的评估提供一种分析方法。我们采用项目反应理论中的Rasch模型。为了估计能力效应，我们假定两组考生面对相同难度参数的项目，通过比较两组考生的能力参数分布，得出不同环境的能力效应。分析难度效应时，我们假定两组考生具有相同的能力参数分布，然后比较两组考生在相同项目上的难度参数值。
　　本文的核心归结为Rasch模型的参数估计:难度效应需要对两组考生的数据分开估计，而能力效应只需把两组数据合并在一起分析。文献中现成的估计方法有两种，一是Wright等人(1969)提出的联合极大似然估计，二是Andersen(1970)提出的条件极大似然估计。前者是一个约束极值问题。因为Wright等人给出的算法很不自然，所以本文提出两个新的算法:一是从约束条件中解出一个难度参数，从而把约束极值问题化为无约束极值问题;另一算法采用通常的Lagrange乘数法。这两个算法都采用Newton法，它们均有简单的更新公式，无需矩阵求逆。因此，我们的两个算法结构简单、易于实现。
　　Andersen的条件极大似然需要计算初等对称多项式。后者在当时被认为是困难的问题。事实上只有欧洲人实现了这一算法，美国人一直采用Wright等人的联合极大似然算法。本文提出了三个新的计算初等对称多项式的算法。其中之一是从初等对称多项式出发，直接计算一次多项式的乘积;另一种利用Newton恒等式把问题归结为计算齐次幂。我们的三个算法有两个涉及减法，这会造成有效数字位数减少，因而不能用于条件极大似然。另一个算法只涉及正数的加法和乘法，完全可以避免有效数字减少的问题。这个算法非常简单、计算量少，计算结果与传统的迭代算法完全相同。
　　为了比较各个算法的优劣，本文进行了系统的模拟实验。本文大量的数值结果表明，联合极大似然估计的三个算法给出基本相同的结果;条件极大似然一般优于联合极大似然，尤其是数据量（即考生数）与难度参数的维数（即卷面题量）之比很大的时候。在我们的图表中，下面的事实同样显而易见，即条件极大似然具有相合性，在适当条件下联合极大似然是相合的。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景

§1．2 本文的主要工作

第二章 教育测量理论概述

§2．1 经典测量理论(CTT)

§2．1．1 经典理论的模型和假设

§2．1．2 经典测量理论的优点与局限性

§2．2 项目反应理论(IRT)的基本原理

§2．2．1 项目反应理论的概念

§2．2．2 项目特征曲线

§2．2．3 项目反应理论的假设与优点

§2．3 项目反应理论的数学模型

§2．3．1 正态累积模型

§2．3．2 逻辑斯蒂模型(Logistic模型)

第三章 环境差异的理论分析

§3．1 模型

§3．2 联合最大似然估计

§3．3 难度参数的条件似然估计

第四章 实验模拟

§4．1 对称函数的计算

§4．2 比较联合极大似然估计的三个算法

§4．3 联合极大似然估计与条件极大似然的比较

§4．4 实际数据的分析

第五章 结论

致谢

参考文献