图的距离拉普拉斯谱与距离无符号拉普拉斯谱

摘要

在研究图的性质时，人们引入各种与图结构相对应的矩阵，如关联矩阵、邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵、距离矩阵等.用线性代数及矩阵论的方法研究这些矩阵，所得结果能够帮助我们进一步了解图的结构和性质。
　　2013年，Aouchiche和Hansen受拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的启发，提出了图的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵的概念，并在后续的研究中提出了一些具有挑战性的猜想.相较邻接矩阵而言，拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵对角线元素直接反应了图各个顶点的度大小.同样地，对距离矩阵而言，距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵对角线元素还直接反应了图的各个顶点到其他所有顶点的距离和.
　　本文针对图的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵，研究不同图类下的谱半径的性质.主要内容分为两大部分.
　　第一部分研究图的距离拉普拉斯谱半径.首先，本文解决了Aouchiche和Hansen提出的一个关于图的距离拉普拉斯矩阵的最大特征值（等于谱半径）重数的猜想.其次，研究了一类具有诱导子图为树的图，得到了距离拉普拉斯谱半径在修改该诱导子图为若干悬挂点后必定不增的结论.然后，深入研究一类直径为偶数的树的距离拉普拉斯矩阵最大特征值及其对应的特征向量的性质.在顶点数一定情况下，给出了距离拉普拉斯谱半径最小的直径为偶数的树的刻画.最后，研究了一类单圈图不同围长下的距离拉普拉斯谱半径的大小关系.
　　第二部分研究图的距离无符号拉普拉斯谱半径.先研究了一类具有诱导子图为树的图，得到了距离无符号拉普拉斯谱半径在修改该诱导子图为若干悬挂点后必定不增的结论.再深入讨论一类单圈图的距离拉普拉斯矩阵最大特征值及其对应的特征向量的性质.最后，在顶点数一定的情况下，给出了距离无符号拉普拉斯谱半径最小的直径为偶数的树的刻画.
　　在论文的总结部分，提出了5个仍值得深入讨论的猜想.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景与发展

1．2 基本概念和记号

1．3 研究现状

1．4 本文的主要内容

第二章 准备知识

2．1 有关实矩阵的结论

2．2 拉普拉斯矩阵相关结论

2．3 距离(无符号)拉普拉斯矩阵相关结论

2．4 两个猜想

第三章 距离拉普拉斯谱

3．1 猜想的证明

3．2 一类诱导子图为树的图

3．3 直径为偶数的树

3．4 一类单圈图

第四章 距离无符号拉普拉斯

4．1 一类诱导子图为树的图

4．2 一类单圈图

4．3 直径为偶数的树

第五章 总结

5．1 关于直径

5．2 关于单圈图

致谢

参考文献