几类生物趋化模型解的存在性与爆破研究

摘要

本文研究了几类描述细胞在自身分泌的化学物质刺激下进行趋向性运动的偏微分方程组，包含单种群趋化模型和多种群趋化模型.论文研究了这几类趋化模型解的整体存在性与有限时刻爆破.
　　本文主要内容包含五部分：
　　第一章概述了所研究趋化模型的生物背景，国内外的发展现状并简要介绍本文的主要工作.
　　在第二章中，我们研究了两种群趋化方程组{ut=Δu-▽·(u▽w)，x∈Ω,t＞0,vt=Δv-▽·(v▽w)，x∈Ω,t＞0,wt=Δw+u-w-vw，x∈Ω，t＞0的Neumann边值问题，其中Ω(C)R2为光滑有界区域，我们得到了小初值条件下方程组解的有界性与渐近性态.具体来说，我们证明了存在ε0＞0，对于任何满足‖u0‖L1(Ω)＜ε0和‖▽w0‖L2(Ω)＜ε0的初值（u0，u0，w0），方程组的解都整体存在并且一致有界.此外，该问题的解（u，v，w）渐近趋向于（m1，m2，m1/1+m2），这里m1=1/|Ω|∫Ωu0，m2=1/|Ω|∫Ωv0.
　　第三章考虑完全抛物型两种群趋化方程组{ut=Δu-x1▽·(u▽w)，x∈Ω,t＞0,vt=Δv-x2▽·(v▽w)，x∈Ω,t＞0,wt=Δw-γw+α1u+α2v，x∈Ω，t＞0的Neumann边值问题.其中Ω是RN(N≥3)中的球，x1，x2，γ，α1，α2均为正实数.我们考虑了更一般的情形x1≠x2，证明了对于任何的mi＞0(i=1，2)，都存在径向对称的初值(u0，v0，w0)∈(C0((Ω)))2×W1，∞(Ω)满足mi=∫Ωui0，(i=1，2)，使得问题对应的解发生有限时刻爆破，即limt→T‖u1‖L∞(Ω)+‖u2‖L∞(Ω)=∞，这里T∈(0，∞).
　　第四章我们讨论了单种群与两种化学物质的趋化-排斥方程组{ut=Δu-x▽·（u▽v）+ξ▽·（u▽w），x∈Ω，t＞0，0=Δv+αu-βv，x∈Ω，t＞0，0=Δw+γu-δw，x∈Ω，t＞0的Neumann边值问题，这里Ω为R2中的光滑有界区域.x，ξ为非负实数，α，β，γ，δ为正实数.我们研究了该问题的解在条件xα-ξβ＞0且β≠δ时的有限时刻爆破.
　　第五章研究了非线性扩散趋化-趋触模型{ut=▽·(D(u)▽u)-x▽·(u▽v)-ξ▽·(u▽w)+μu(1-u-w)，x∈Ω,t＞0,ut=Δv-v+u，x∈Ω，t＞0，wt=-vw x∈Ω，t＞0的Neumann边值问题，其中Ω为RN中的光滑有界区域.N=2，3，4，x，ξ，μ≥0.扩散系数D（u）满足D(u)≥δum-1，u＞0，其中δ＞0.我们得到了m＞2-2/N时，如果初值具有一定的正则性，则该问题存在整体有界的解.对于非退化情形(即D(0)＞0)，我们得了整体有界的古典解;对于可能退化的情形(即D(0)≥0)，我们得到了整体一致有界的弱解.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 趋化模型的生物背景

§1．2 趋化模型的研究现状

§1．2．1 Keller-Segel模型

§1．2．2 多种群和多重化学物质相互作用模型

§1．3 本文主要研究内容和创新点

§1．3．1 主要研究内容

§1．3．2 创新点总结

第二章 二维空间中小初值条件下两种群趋化模型的整体有界性和渐近性态

§2．1 引言

§2．2 预备知识

§2．3 解的整体存在性

§2．4 解的有界性和收敛性

§2．5 定理2．1．1的证明

第三章 完全抛物型两种群趋化模型解的有限时刻爆破

§3．1 引言

§3．2 准备知识

§3．3 关于Lyapunov泛函的估计

§3．4 有限时刻爆破：主要结论的证明

第四章 二维空间中趋化-排斥模型非径向解的爆破

§4．1 引言

§4．2 准备知识

§4．3 一个能量不等式

§4．4 定理4．1．1的证明

第五章 非线性扩散趋化-趋触模型解的整体有界性

§5．1 引言

§5．2 准备知识

§5．3 解的有界性：定理5．1．1的证明

§5．4 退化扩散和弱解的整体存在性：定理5．1．2的证明

第六章 总结与展望

参考文献

附录一 博士期间发表的论文

附录二 博士期间主持和参加的科研项目以及参加的学术会议

致谢