几类生物数学趋化KS模型解的爆破和渐近行为

摘要

生物数学，是数学和生物学的交叉学科，它基于生物学的背景之下，用数学的理论和方法来探究和解决生物学里的问题，对生物学中的很多实际问题进行定性的分析和定量的统计。在生物数学的研究中，Keller-Segel 模型主要用于描述微观状态下生物细胞或者微生物由于受到某种化学物质的刺激而产生定向的运动，简称趋化性，故而Keller-Segel模型也被称作趋化模型。趋化模型的应用范围非常的广泛，比如应用于研究创伤的愈合，细胞的免疫反应，微生物的生长等等。本文拟研究生物数学中几种趋化Keller-Segel 模型解的性质，比如解的整体存在性，解的大时间渐近行为，解的大时间渐近速率，解的爆破和解的爆破时间估计。 本文主要分为以下六个章节： 第一章，绪论。主要介绍生物趋化Keller-Segel模型的实际研究背景和该模型从提出至今的研究现状，并且陈述本文主要的研究工作。 第二章，我们探究一类具有logistic源的趋化吸引抛物-椭圆Keller-Segel模型。我们找到生物细胞扩散指数和logistic源之间的某种关系，当生物细胞的扩散指数适当的大时（即细胞自身的扩散较快），或者细胞扩散指数较小，但 logistic 源的阻尼系数较大时，模型存在一致有界的整体解。另外，在某种特定的logistic源条件下，我们研究了模型解的大时间渐近行为。 第三章，我们主要研究具有某种特殊 logistic 源的趋化吸引抛物-椭圆Keller-Segel模型解的大时间渐近速率。当logistic源是?u??u?的形式时，（其中?是正常数，u代表细胞的浓度，??1）当系数?适当大的时候，我们得到模型的解是以指数渐近到某个常稳态解。 第四章，我们研究2维情况下，两种生物共同产生一种化学吸引物质的抛物-抛物-椭圆趋化模型。首先，我们运用构造函数的方法证明了当两种生物细胞的初始质量大于某个值的时候，模型的解会在有限时间产生爆破（即细胞会产生聚合现象）。此外，我们找到了解的爆破时间的一个下界。最后，通过运用迭代的方法，我们得到了当两种生物细胞的初始质量都被控制在某个范围内的时候，该模型的解整体存在并且一致有界。 第五章，我们主要讨论一类物质细胞和它所产生的两种化学物质的具有logistic源抛物-椭圆-椭圆吸引排斥趋化模型。我们先考虑，在3维情况下，当细胞的扩散指数和logistic源的系数具有某种关系的时候，解的整体存在性问题。然后，我们通过构造泛函的方法，得到了解会按照指数衰减至某个常稳态解。最后，在忽略掉细胞自身扩散的情况下，（即假设细胞的活动只受化学物质的影响）我们考虑模型弱解的存在性，并且我们找到了一个临界指标，当logistic源的系数小于这个指标的时候，模型的弱解会在有限时间发生爆破，当logistic源的系数大于这个指标的时候，模型的弱解整体存在。 第六章，在本章我们主要对本文的工作进行一个梳理和总结，并且提出将来欲研究的内容。

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