非全局Lipschitz条件下求解非线性随机延迟微分方程的数值方法

摘要

随机延迟微分方程是科学研究与生产实践中的重要数学模型，已被应用到生物学，化学，力学，经济学和金融学等领域，三十余年来，许多国内外学者致力于研究求解随机微分方程和随机延迟微分方程的数值方法，并取得了很多卓越的成果．由于许多描述实际问题的随机微分方程和随机延迟微分方程是复杂的，非线性的，近期有许多学者关注非线性随机微分方程和随机延迟微分方程的数值求解．本文在一组较弱的非全局Lipschitz假设条件下，研究非线性随机延迟微分方程数值方法的收敛性． 在第一章中，介绍了本文的研究背景和意义，以及在随机延迟微分方程数值方法的研究中己取得的研究成果． 在第二章中，介绍本文涉及到的基本定义、定理，以及理论推导中常用的不等式．在本章中给出了对于非线性随机延迟微分方程漂移项系数和扩散项系数的非全局Lipschitz设条件，并证明了方程解析解的有界性． 在第三章中，首先在给定的非全局Lipschitz假设条件下给出求解自治非线性随机延迟微分方程单步显式方法的收敛性基本定理，即在p阶矩意义下局部截断误差阶与全局误差阶的关系，其次，对于非线性随机延迟微分方程，提出平衡Euler格式，证明数值解的有界性．并利用收敛性基本定理，研究平衡Euler格式数值解的收敛性．在给定的非全局Lipschitz条件下证明平衡Euler格式在p阶矩意义下是1/2阶收敛的． 在第四章中，通过数值算例测试平衡Euler格式的收敛阶和求解精度，数值结果与理论结果一致．

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