时滞微分方程组的数值Hopf分支分析

摘要

时滞微分系统普遍存在于从自然界到人类社会、从自然科学与工程技术到社会科学的各个学科领域内，深入研究时滞微分系统的动力学特性不仅对认识这些方程本身具有重要的意义，也会对其它学科领域的研究起到促进作用，其理论与数值研究都是十分重要的． 分支行为往往是由系统中的奇异行为引起的，常发生在依赖于参数的系统中．Hopf分支是一类重要的分支行为，其描述了当参数历经临界点时，系统从平衡状态衍生出周期解的现象．对系统Hopf分支的研究包括分支的存在性、分支的参数值、分支的稳定性等． 本文主要研究求解依赖于参数的非线性时滞微分系统y′(t)=f(y(t))，y(t-1)，α)，y∈R<'n>，α∈R的Runge-Kutta方法对原系统的Hopf分支的保持性问题． 文中对f(x，y，α)作了如下假设：f(x，y，α)∈C<'p+1>(R<'n>×R<'n>×R，R<'n>)，且存在α<'*>，以及α<'*>的某个邻域δ(α<'*>)，有f(0，0，α)=0，α∈δ(α<'*>)．由于所讨论的数值方法为隐式Runge-Kutta法，本文利用Kronecker积给出其一般形式，并利用函数f(x，y，α)的光滑性及矩阵计算技巧得到数值方法特征方程的显式表达式，进而利用构造的辅助矩阵与原系统特征方程的矩阵形式进行对比分析，获得了Runge-Kutta方法的特征根结构．最后利用映射的Hopf分支理论，证明了若原系统在α<'*>处产生Hopf分支，则当步长h=1/m(m∈Z<,+>)充分小时，Runge-Kutta方法也存在Hopf分支，且分支参数α<,h>满足α<'h>=α<'*>+O(h<'p>)，p为Runge-Kutta方法的方法阶．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

第二章预备知识

2.1时滞微分方程基本理论

2.2时滞微分方程的Hopf分支

2.3离散动力系统的Hopf分支理论

2.4矩阵Kronecker积

第三章Runge-Kutta方法对时滞微分方程组Hopf分支的保持性

3.1时滞微分方程组的Hopf分支

3.2求解时滞微分方程的Runge-Kutta方法

3.3离散格式的特征根结构

3.4 Hopf分支的保持性

结 论

参考文献

致 谢