多解椭圆型方程的最优控制问题

摘要

本文主要研究了几类多解椭圆型方程的最优控制问题，首先，在凸性条件下考虑了半线性多解椭圆型方程的最优边界控制问题，证明了变分不等式．其次，在非凸情形下首次采用松弛控制方法研究了具有两点边值条件的多解常微分方程以及一类只有两个解的半线性椭圆型方程的最优控制问题，得到了Pontryagin's最大值原理，最后讨论了一类半线性椭圆方程的最优控制的存在性及不存在性问题． 全文共分为三部分内容： 在第一部分即本文的第二章和第三章中，我们分别讨论了带有线性边界条件以及非线性边界条件的半线性椭圆型方程的最优边界控制问题．在凸性条件下，通过构造相应的惩罚问题并取极限，我们以变分不等式的形式给出了原始问题最优对所满足的必要条件． 在第二部分即本文的第四章中，我们考虑了一类具有两点边值条件的多解常微分方程的最优控制问题，由于控制区域及指标泛函可能非凸，那么相应的惩罚问题可能无解．在这样的情形下，我们引入了新的工具即松弛控制理论，通过构造松弛惩罚问题再取极限，从而得到了原问题最优对所满足的Pontryagin's最大值原理， 第三部分包含了本文的第五章，本章分为两节．第一节，在非凸情形下我们致力于一类只有两个解的半线性椭圆型方程的最优控制问题，通过对状态方程解性质的分析并建立适当的能量估计，我们证明了松弛控制方法对本问题的适用性并得到了最优对的Pontryagin's最大值原理．在第二节，采用松弛控制方法我们证明了一类最优控制问题的存在性及不存在性结果．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 引言

第二章 一类半线性多解椭圆型方程的最优边界控制问题

§2.1问题的提出及主要结果

§2.2惩罚问题的构造

§2.3变分不等式的证明

第三章 具有非线性边界条件的多解椭圆型方程的最优边界控制问题

§3.1问题的提出及主要结果

§3.2惩罚问题的构造

§3.3变分不等式的证明

第四章 一类具有两点边值条件的多解常微分方程的最优控制问题-非凸情形

§4.1问题的提出及主要结果

§4.2松弛控制问题

§4.3松弛惩罚问题的构造

§4.4 Pontryagin’s最大值原理的证明

第五章 半线性椭圆型方程的最优控制问题-松弛控制方法

§5.1一类只有两个解的半线性椭圆型方程的最优控制问题-非凸情形

§5.1.1问题的提出及主要结果

§5.1.2状态方程解的分析

§5.1.3附录

§5.1.4松弛惩罚问题的构造

§5.1.5 Pontryagin’s最大值原理的证明

§5.2一类最优控制问题的不存在及存在性结果-松弛方法

§5.2.1问题的提出及主要结果

§5.2.2准备工作

§5.2.3定理的证明

结 论

参考文献

致 谢

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