完全可积holonomic一阶微分方程的分支

摘要

本文主要研究完全可积holonomic一阶微分方程芽的分支问题.
　　利用Legendrian奇点理论，S.Izumiya[1]给出1≤n≤3情况下完全可积holonomicn元一阶微分方程芽的一般分类.当n≥1时，他也对这类方程芽中具有R+-简单且稳定积分图的方程芽进行了分类.从奇点理论角度看，接下来应该研究完全可积holonomic方程芽的1-参数族的分类，进而分支其相位图（全解和奇解）.本文利用Legendrian奇点理论和Arnold-Zakalyukin生成族理论对n≤2情况下完全可积holonomic n元一阶微分方程芽的分支进行分类.在n≥1的情况下，给出具有R+-简单且稳定1-参数积分图的这类方程芽分支的一般分类.按照S.Lie的观点，等价关系由点变换给出.在分类过程中，用到函数芽之间的t-P-(K)-等价，这种等价是一种有区别参数函数芽之间的等价.将这种等价关系进行推广，本文最后，定义具有有区别参数函数芽之间的I-P-(K)-等价并研究该等价关系的一些性质.
　　本文结构如下:
　　第一章作为引言，首先介绍奇点理论的发展以及奇点理论在其它数学分支以及交叉学科中的应用，其中重点介绍它在微分方程中的应用.其次介绍微分方程分支方面的研究成果.最后给出本文主体框架.
　　第二章是预备知识.首先给出本文涉及到的奇点理论的基本概念;其次介绍完全可积holonomic一阶微分方程芽的有关知识;最后给出与本文主要研究对象（即，完全可积holonomic一阶微分方程的1-参数族）相关的一系列定义及等价关系.
　　第三章，作为分类定理证明的准备，研究1-参数完全Legendrian开折及其生成族理论.
　　第四章和第五章，分别对n≤2情况下完全可积holonomic n元一阶微分方程芽的分支和n≥1情况下具有R+-简单且稳定1-参数积分图的这类微分方程芽的分支进行分类.
　　本文的最后，介绍具有有区别参数光滑映射芽的I-P-(K)-等价的一些性质.

目录

声明

摘要

第1章 引言

第2章 预备知识

2．1 一些记号和定义

2．1．1 光滑函数芽环及其理想

2．1．2 光滑映射芽

2．1．3 jet-空间Jr(Rn，R)

2．1．4 Legendre稳定性

2．2 完全可积holomomic一阶微分方程芽

2．3 完全可积holomomic一阶微分方程芽的1-参数族

第3章 1-参数完全Legendre开折及其生成族

3．1 1-参数完全Legendre开折

3．2 生成族

3．3 S．P+-Κ-通用形变

第4章 当n≤2时完全可积holonomic方程的分支

4．1 定理证明的预备

4．2 分类定理及其证明

第5章 具有R+-简单且稳定1-参数积分图的完全可积holonomic方程的分支

5．1 定理证明的预备

5．2 分类定理及其证明

第6章 具有有区别参数光滑映射芽的I-P-K-等价的性质

6．1 基本概念

6．2 I-P-K-等价的隐函数定理

6．3 I-P-K-余维

6．4 有限决定性

结语

参考文献

致谢

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