非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性及数值解法研究

摘要

常微分方程的边值问题已经成为微分方程学科的重要组成部分之一.它的研究最初是由19世纪30年代Sturm和Liouville对二阶线性方程的边值问题求解开始的.边值问题在工程学、金融等领域有着重要的应用，是现代科学技术中分析和解决问题的强有力工具.而解的存在性是边值问题研究的重要课题，首先要弄清楚微分方程解的存在性和解的个数，然后再求方程的数值解并将其应用到实际问题中.本文主要对二阶非线性 Sturm-Liouville边值问题进行研究，利用 Green函数构造与微分方程等价的积分算子方程，接下来将微分方程解的存在性问题转化为研究其相应的积分算子在 Banach空间中锥上的不动点存在问题.再利用锥上的不动点定理，同时结合拓扑度的相关结果证明二阶非线性Sturm-Liouville边值问题正解的存在性.
　　本文的结构如下：
　　第一章绪论部分介绍了Sturm-Liouville边值问题的基本知识和研究现状，给出了本文将要用到的部分重要定义和引理.同时介绍了一类二阶常微分方程边值问题的Green函数求法.
　　第二章研究了非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性.首先，通过限制非线性项的上下极限，在非线性项非负的情况下证明了非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性.然后,通过改进二阶非线性常微分方程边值问题的存在性条件，突破了非线性项非负的局限，在带参数的情况下，得到了非线性项可变号时解的存在性结果.最后，证明了非线性Sturm-Liouville边值问题的多解性.
　　第三章在理论证明的基础上，将求微分方程的数值解转化为求Hammerstein型积分方程的数值解.首先简单介绍了非线性常微分方程边值问题的常用数值解法和非线性积分方程的分类.然后在原有迭代法的基础上，对迭代项进行修正，使迭代速度更快.最后给出具体算例并用 Matlab软件求出方程的数值解.通过与原来的迭代法比较，说明新的加速法确实有效.
　　第四章是本文的总结和展望.

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第一章 绪论

1.1研究背景及现状

1.2本文的主要工作和创新

1.3本文常用定义和引理

1.4一类二阶常微分方程边值问题的Green函数求法

1.4.1预备知识

1.4.2周期边界条件下的Green函数及证明

1.4.3方程在另外几种边界条件下的Green函数

第二章 非线性Sturm-Liouville边值问题正解存在性

2.1非线性项非负的Sturm-Liouville边值问题的正解存在性

2.1.1预备知识

2.1.2主要定理及证明

2.2 非线性项可变号的Sturm-Liouville边值问题的正解存在性

2.2.1 预备知识

2.2.2主要定理及证明

2.3非线性项可变号的Sturm-Liouville边值问题的多解存在性

2.3.1预备知识

2.3.2主要定理及证明

第三章 数值解法及算例

3.1非线性常微分方程的数值解法

3.2非线性Fredholm积分方程的分类

3.3 第二类Hammerstein型Fredholm积分方程的数值算法

第四章 总结和展望

4.1主要研究结论

4.2本文研究的局限性及研究展望

附录

参考文献

攻读硕士期间发表的学术论文

后记