随机过程和随机控制在风险理论中的几点应用

摘要

保险数学是研究保险制度数理基础的一门应用数学，主要研究保险费和义务储备金等的价值，分析再保险制度、应急储备金，利润分析和风险论等。风险理论是保险数学中最具理论性的重要组成部分，主要研究来自保险商业的各种随机模型，其核心内容--破产论至今已有百余年的发展历史。
　　 无异于其他公司，保险公司所追求的目标有二：一是降低风险；一是提高收益。风险理论的研究自然也就围绕这两点内容展开：一方面，保险公司面临的风险可以用一些精算量来刻画，如破产概率、破产时刻、破产前余额、破产时赤字等等，最初的风险理论主要集中在对这些精算量的研究，为了降低风险，保险公司通常采取诸如再保险、投资金融市场等措施；另一方面，在降低风险的同时，保险公司还关心其收益，衡量保险公司收益的最具代表性的量就是破产前总的分红量(所谓分红即公司分配给股东或初始准备金提供者的部分盈余)。
　　 本文即致力于这两方面的研究，主要讨论了复合二项风险模型几个精算量的联合分布、复合二项风险模型破产严重程度的一些度量、带借贷利率的复合Poisson风险模型的最优分红和主动破产界、二维复合Poisson风险模型的最优分红和动态比例再保险等问题。具体内容如下：
　　 第一章是绪论，简要介绍本文涉及的风险模型--复合二项风险模型、带借贷利率的复合Poisson风险模型、二维复合Poisson风险模型；概述相关问题的提出背景及研究现状。
　　 第二章研究复合二项风险模型多维精算量的联合分布。通过定义此风险模型的上穿零点序列，引入此缺陷(defective)更新序列的更新质量函数，并得到其明确表达式。再由更新质量函数及强马氏性，得到了该模型破产概率及多维精算量(包括破产时刻、破产前余额、破产时赤字、破产到恢复最大赤字及全局最大赤字等)的联合分布。并且给出了当索赔额服从几何分布时的明确表达式。
　　 鉴于出现赤字并不一定导致保险公司停止经营活动，恢复的可能性不仅依赖于破产时的赤字多少，还取决于保险公司在接下来的赤字状态下还能承受的索赔量及赤字状态所持续的时间。这些破产严重程度的度量自然成为保险公司决定是否继续经营下去的基本原则。第三章给出了复合二项风险模型的几个破产严重程度的度量，其中包括第一次破产到恢复间的最大赤字、第一次破产到恢复间的总损失、每次破产都继续运营的前提下全局总的赤字时间及总的损失。另外，作为例子还给出了索赔额服从几何分布时，这些破产严重程度的度量的明确表达式。
　　 第四章考虑的是带借贷利率的复合Poisson风险模型的最优分红和一个新的破产界--主动破产界的问题。正如Dickson& Waters(2004)所阐述的，股东们既然从公司拿了分红，那么当公司破产的时候，他们当然就有责任承担破产时的赤字。因此，本章所及分红问题是最大化破产前的累积折现分红量与破产时的赤字的折现值之差的数学期望。在这种差值的计算方式下，若将破产取为原有的绝对破产，那么在破产界的一个临域内其值为负，所以在这种情况下，保险公司会在余额达到绝对破产界之上的某个界限时就宣布破产，以保证其不会出现入不敷出的尴尬局面。找到的这个新的界限即定义为主动破产界。另外，还给出了指数索赔下的明确表达式。
　　 随着风险理论的发展，一维风险模型对较复杂的保险不能进行模拟，例如，在交通事故中，可能因意外而引起人身保险的索赔发生，同时也可能因碰撞而产生车险的索赔发生。在现实生活中，诸如此类的情况还很多，与保险事业息息相关。为了打破一维风险模型的局限性，高维相依风险模型应运而生。第五章以二维复合Poisson风险模型为例，利用动态控制理论讨论了使其取得最大累积折现分红值的最优分红策略和动态比例再保险策略。