一维非线性晶格模型中的量子孤子研究

摘要

孤立子是一种既典型又重要的非线性现象。孤子理论在凝聚态物理、等离子体物理、生物物理、光学纤维、地质学方面有重要的应用。1988年，Sievers和Takeno 利用旋转波近似和格林函数的方法在FPU 模型中发现了其中存在内禀局域模，这种局域模是由晶格的离散性和强的非线性所导致的。自此，非线性离散晶格中的孤子研究受到了人们的广泛关注。到目前为止，大量的研究都集中在经典晶格中孤子的研究。然而，众所周知微观世界是受量子力学规律支配的。因此，晶格中的量子孤子研究是必要的。一般来说，量子非线性元激发的研究可采用解析和数值两种方法。例如，V.V.Konotop和S.Takeno 通过引入“赝场算符”研究量一维FPU 链，获得了包络孤子解。Zhu-Pei Shi等人利用相干态方法结合连续近似研究量子一维单原子链，得到了原子位移期望值所构成的非线性声子局域模。此外，利用对哈密顿量的精确数值对角化，人们发现多声子（或双声子）束缚态作为本征态而存在，这些本征态就是经典微观体系中的非线性局域模的量子对应体。这些结果不仅给出了关于非谐晶格一些有趣的信息而且表明在量子非线性晶格中存在非线性局域模。在本文中，我们利用相干态方法和含时变分原理分别研究了量子Klein-Gordon和量子FPU 晶格，得到了一些有意义的结果。这些研究结果丰富了一维体系中的孤子理论，同时为有关的理论和实验工作提供了一些理论依据。
　　 本文共分四章：第一章将简要介绍非线性科学和孤子的基本理论、孤子研究史、研究现状以及三个典型的有孤子解的非线性发展方程。在第二章中，我们将关注原子链中的孤子，包括简单的介绍晶格模型和经典以及量子晶格中孤子的研究现状。在第三章中，利用相干态方法以及多尺度方法我们研究了一维量子Klein-Gordon 晶格的非线性局域模，发现湮灭算符的运动方程可以化为离散的非线性薛定谔方程。结果表明，在不同的参数区间中这个模型中可以存在亮和暗的传播和非传播的非线性局域模。第四章，我们利用含时变分原理和多尺度方法研究了一维量子FPU 模型，给出了小振幅的非线性局域模解。最后，我们对本文进行了总结和对本领域以后的工作进行了展望。