Lyapunov矩阵方程和Riccati矩阵方程解的一些估计

摘要

Lyapunov矩阵方程和Riccati矩阵方程等线性和非线性矩阵方程是数值代数和非线性分析中研究和探讨的重要课题之一.它们在控制理论,运输理论,动态规划,梯形网络,统计过滤和统计学等科学和工程计算领域中有着广泛的应用.
　　本文采用控制不等式方法,给出了Lyapunov矩阵微分方程和连续代数Lya-punov矩阵方程解的特征值的和(包括迹)的上界;给出了两个矩阵乘积迹的上下界估计;使用相似变换,扩充了现有的一些基于Delta算子统一代数Lyapunov矩阵方程解的求解范围,
　　第一章介绍了Lyapunov矩阵方程和Riccati矩阵方程的应用背景和研究现状,给出本文所涉及的记号和引理,
　　第二章使用控制不等式方法,结合经典的特征值不等式和指数矩阵乘积的特征值不等式,给出了Lyapunov矩阵微分方程、连续代数Lyapunov矩阵方程解的特征值的和及其迹的上界.进一步,对Lyapunov矩阵微分方程使用特殊的相似变换,扩充了其求解范围,获得了具有更弱限制条件的Lyapunov矩阵微分方程、连续代数Lyapunov矩阵方程解的特征值的和及其迹的上界,
　　第三章利用矩阵的奇异值分解,结合控制不等式的技巧和经典的矩阵乘积迹的不等式,给出了两个矩阵乘积迹的上下界估计,并证明了所得结果改进了现有的一些结果,是现有的非对称情形中最好的估计.进一步,把迹界估计应用到连续代数Riccati矩阵方程中,利用Holder(Cauchy-Schwarts)不等式及特殊的凸函数不等式,给出了连续代数Riccati矩阵方程解的迹的上下界估计,
　　第四章利用可对角化矩阵的分解,结合控制不等式的方法和特殊的矩阵乘积迹的不等式,给出了一个是可对角化矩阵的两个矩阵乘积迹的上下界估计,证明了这个迹界估计比现有的一些结果更精确.进一步,利用所得结果,结合Holder(Cauchy-Schwarts)不等式及凸函数不等式,获得了连续代数Riccati矩阵方程解的迹的上下界估计,改进和推广了已有的一些结果,
　　第五章通过一些适当的变形,把基于Delta算子统一代数Lyapunov矩阵方程转换为连续代数的Lyapunov矩阵方程和离散代数的Lyapunov矩阵方程,使用特殊的相似变换,扩充了现有的一些基于Delta算子统一代数Lyapunov矩阵方程解的求解范围,结合控制不等式的技巧及其经典的矩阵积与和的特征值不等式,给出了这类矩阵方程解的上下界估计和解的数值界估计,改进了已有的结果,进一步,利用矩阵特征值和奇异值的特殊性质,给出了在一些特定要求下的某些特殊相似变换的相似矩阵的存在定理和相应算法。

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第一章绪论

第二章Lyapunov矩阵微分方程解的数值上界估计

第三章两个矩阵乘积的迹界估计

第四章一个是可对角化矩阵的两个矩阵乘积的迹界估计

第五章基于Delta算子统一代数Lyapunov矩阵方程解的估计

结束语

参考文献

致谢

攻读硕士期间公开发表和完成的论文