弱不连续问题的P型自适应有限元及其快速求解方法

摘要

在实际工程计算中，存在大量的弱不连续问题，如含夹杂问题。利用通常的有限元方法，为确保界面上各点满足给定精度，往往需要采用全域网格加密或全域提高单元阶次的方法，这将会导致计算机的物理内存和CPU时间的剧烈增长，大大影响有限元分析的计算效率。现有的一些数值方法，基本仅涉及线性元，计算精度较低，特别是在界面附近各节点的误差偏大，对高阶单元及含复杂内界面情形还未见相关研究和应用。对弱不连续问题，由于在界面处材料系数不连续，将产生局部的奇性，从而导致有限元数值解的整体精度丧失。一种行之有效的补救方法是利用p型自适应有限元方法，它可根据奇性的强弱进行单元阶次的自动增加，从而使得误差在整个网格区域上均匀分布。本论文针对弱不连续问题，对其p型自适应有限元及其离散化系统的 Robust快速求解算法展开研究，在确保数值解精度的前提下，以提高有限元分析的整体效率。
　　本研究分为两个部分：第一部分，针对弱不连续问题设计了相应的p型自适应有限元方法，重点讨论了容许误差控制标准对界面上节点数值解精度的影响，并对如含随机分布圆形夹杂等几类典型弱不连续问题进行了数值计算与模拟。数值结果表明，p型自适应有限元方法对求解弱不连续问题是非常有效的，可大大提高其有限元分析效率，为计算复合材料等效弹性常数的数值方法（如自洽有限元方法）提供了一种高效计算方法。第二部分，我们利用分层的思想，即将高阶有限元离散系统化归为低阶有限元（如线性元）离散系统的求解，为弱不连续问题高阶有限元离散化系统设计了相应的基于部分几何与分析信息的代数多重网格（Geometric-based Algebraic multigrid methods；GAMG）法，相比于常用AMG法，新方法的迭代次数基本不依赖于问题规模、单元阶次以及杨氏模量的间断性，具有更好的计算效率和鲁棒性，可大大提高弱不连续问题有限元分析的整体效率。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第1章 绪论

第2章 模型问题及其常规有限元分析

2.1 模型问题

2.2 变分形式及其有限元离散

2.3 常规有限元分析

第3章 p型自适应有限元方法

3.1 引言

3.2 p 型自适应有限元方法

3.3 两个实际应用例子

第4章 高阶有限元离散化线性系统的GAMG法

4.1 高阶有限元离散化系统的条件数分析

4.2 高阶有限元离散化系统的常规GAMG法

4.3 高阶有限元离散化系统新的GAMG法

4.4 结语

第5章 总结与展望

参考文献

附 录

致谢