一种求解三维Neumann边界条件线弹性问题线性有限元方程的高效预条件子

摘要

带纯Neumann边界条件的三维线弹性问题在固体力学和计算材料学等许多领域中有一定的应用价值。有限元方法是数值求解三维线弹性问题的一种非常有效的离散化方法，但要高效求解相应的大规模线性代数系统仍然面临着许多困难。本文针对一类带纯Neumann边界条件的三维线弹性问题的线性有限元代数系统的适定性及其快速求解算法开展研究。首先，讨论了连续变分问题的适定性，并通过提出一种如何去掉刚度矩阵中冗余行的判定准则，论证了线性有限元代数系统的适定性，数值实验表明线性有限元误差函数在 L2(?)和L1(?)范数下均具有饱和误差阶。接着，针对线性有限元代数系统讨论了三类求解算法，其中重点研究了一种 Schur补求解算法和三种基于代数多层网格(AMG)法和高斯赛德尔迭代法(GS)的组合型预条件子，数值实验验证了所设计的Schur补求解算法和基于AMG的组合型预条件GMRES法的迭代次数和求解时间均优于常用求解方法ILU(0)-GMRES。特别地，AMG-GS-?EE-GMRES法的算子复杂度最低且求解效率最高。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章 引言

第二章 预备知识

§2.1 若干记号和基本知识

§2.2 经典AMG 法与常用预条件Krylov 子空间迭代法

§2.2.1 经典AMG 法

§2.2.2 AMG-CG 法

§2.2.3 PGMRES法

第三章 带纯Neumann 边界条件下的线弹性问题的线性有限元方法

§3.1 模型问题与适定性

§3.2 线性有限元方程与适定性

第四章 几种求解有限元离散系统的快速算法

§4.1 几种常用求解方法

§4.1.1 直接法

§4.1.2 GMRES 法

§4.1.3 ILU-GMRES法

§4.2 Schur补法

§4.3 一种基于AMG 的组合型高效预条件子

§4.3.1 基于AMG 的组合型预条件子算法

§4.3.2 数值实验

总结与展望

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果