三维问题有限元方法的超逼近

摘要

本文主要研究三维问题有限元方法的超逼近理论。为方便起见，本文仅考虑Poisson方程Dirichlet边值问题。借助三维离散导数Green函数的估计，投影型插值算子理论和单元合并技术，本文详细讨论了几种常用三维单元(包括长方体元，四面体元和三棱柱元)的有限元解梯度的最大模超逼近，均获得了高精度的超逼近结果。本文具体安排如下：　　第一章主要介绍本文需要用到的基本定理，常用的记号以及模型问题。　　第二章详细地介绍了多维离散Green函数理论，这一理论是研究多维问题有限元超收敛(特别是最大模超收敛)的最重要的理论基础。由于缺乏这一理论以及多维问题本身的复杂性，到目前为止，多维问题有限元超收敛的结果很少，随着这一理论的建立，多维问题的超收敛研究将会变得容易了。　　第三章介绍了三维投影型插值算子理论，这为长方体有限元超收敛的研究提供了重要的分析工具。　　第四章详细讨论了长方体有限元的超逼近。对于张量积长方体有限元和几种常用的奇妙族元，本章均获得了弱估计和梯度最大模的超逼近结果。　　第五章讨论了四面体有限元的超逼近。利用单元合并技术获得了四面体二次元的第一型弱估计，进而得到了四面体二次元梯度最大模的超逼近。　　第六章讨论了三棱柱有限元的超逼近。由于三棱柱元可以看成是三角形元和一维元的张量积，按照三角形元和一维元已有的超收敛结果，我们不难得到三棱柱有限元的第一型弱估计和其梯度的最大模超逼近。

目录

文摘

英文文摘

前言

第一章预备知识

§1.1记号和Sobolev空间

§1.1.1常用的记号

§1.1.2 Sobolev空间

§1.2基本定理

§1.3一维投影型插值算子

§1.4椭圆边值问题

第二章多维离散Green函数理论

§2.1 Galerkin投影和离散Green函数

§2.1.1 Galerkin投影

§2.1.2离散Green函数

§2.2离散δ函数和L2投影

§2.2.1离散δ函数

§2.2.2 L2投影

§2.3准Green函数及其L2估计

§2.4权范数及其性质

§2.5准Green函数的权范数估计及其他估计

§2.6准Green函数的Galerkin逼近及有限元的L∞估计

§2.7导数准Green函数( )zGz*及其Galerkin逼近

§2.7.1导数准Green函数( )zGz*的性质及权范数估计

§2.7.2( )zGz*的Galerkin逼近及其估计

第三章三维投影型插值算子理论

§3.1三维投影型插值算子

§3.2三维投影型插值算子的等价构作方法

第四章长方体有限元的超逼近

§4.1张量积长方体有限元的超逼近

§4.1.1三m次长方体有限元的弱估计

§4.1.2三m次长方体有限元的最大模超逼近

§4.2奇妙族长方体有限元的超逼近

§4.2.1二次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近

§4.2.2三次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近

第五章四面体有限元的超逼近

§5.1四面体线元的最大模超逼近

§5.2四面体二次元的超逼近

§5.2.1 四面体二次有限元离散

§5.2.2几个重要引理

§5.2.3第一型弱估计与超逼近

第六章三棱柱有限元的超逼近

§6.1第一型弱估计

§6.2最大模超逼近

附录A

附录B

参考文献

攻读博士学位期间完成的论文

致谢

湖南师范大学学位论文原创性声明