求解时域麦克斯韦方程组的间断伽略金方法

摘要

本文研究了求解时域麦克斯韦方程组的间断伽略金方法。基于间断伽略金方法，提出了求解麦克斯韦方程组的半离散格式以及时空全离散格式。本文的研究涉及简单媒质以及几种重要的色散媒质(低温等离子体，洛仑兹媒质以及德拜媒质)中的麦克斯韦方程组。
　　 首先，基于间断有限元方法，本文构造了求解简单媒质中麦克斯韦方程组的半离散数值格式，并给出了相应的理论分析和数值结果，证明了这种格式的数值稳定性，并且在L2范数的意义下具有O(hk+1/2)的收敛阶。为了得到数值结果，本文采用连续有限元方法求解空间离散后得到的关于时间的常微分方程组。数值结果表明，这种方法具有D(hk+1)的收敛阶，比相应的理论结果要高半阶。
　　 接下来，本文转向对几类重要的色散媒质的讨论。针对描述电磁波在这几类色散媒质中传播规律的物理模型，本文提出了一个统一的数学模型来概括它们，并构造了半离散格式，理论分析和数值结果表明我们得到了与简单媒质情形完全相同的结论。
　　 除了对半离散格式的研究之外，本文主要还提出了一种基于间断伽略金方法的时空全离散格式用于求解时域麦克斯韦方程组。我们分别讨论了简单媒质以及色散媒质中的麦克斯韦方程组。与龙格-库塔间断伽略金方法(RKDG)和时域有限元方法(FETD)等已有的全离散方法不同，在我们的这种时空全离散格式中，间断伽略金方法既被用于空间离散也被用于时间离散。本文证明了这种时空全离散格式是绝对稳定的，并且在L2范数的意义下具有D(тr+1+hk+1/2)的收敛阶。文中给出了二维和三维的数值例子来验证理论结果的可靠性。数值结果还表明，在时间节点上，数值通量在时间方向具有т2r+1的强超收敛性。