全纯Proper映照和Loewner链的边界性质

摘要

Proper映照是多复变函数的重要研究对象，单复变的proper映照则主要考虑在Riemann曲面上。但是，近几年proper映照、分形几何和边界性质问题的交叉区域受到数学家的关注，并且取得了一定成绩。Loewner微分方程是单叶函数中的一个重要内容，它被证明是解决单叶函数中极值问题最有用的工具之一，典型的例子是Bieberbach猜想的证明。1999年，Oded Schramm提出了一族带有一个参数的随机共形映射，它可以通过解一个含有布朗运动的微分方程得到。实际上，这个微分方程就是在Loewner微分方程中取一个标准的Brownian运动为驱动函数得到的(即λ(t)=()kBt)。人们称这个随机版本的Loewner微分方程为Stochastic Loewner Evolution简记(SLE)，它是一个新的研究方向，不仅在数学上，更在统计物理学上有着重要的意义。该研究方向以单复变函数论为工具，Loewner微分方程为基础，与现代概率论、物理学、共形场论紧密结合，互相渗透，是一个前沿研究方向。美国康乃尔大学教授Lawler，G.F是该领域最活跃的人物之一，并于2005年出版了第一本系统介绍该理论的书：Conformally Invariant Processes In The Plane(Mathematical Surveys And Monographs，Vol.114)。目前已经有两位数学家因在这个领域有杰出工作分别在2006年和2010年获得菲尔兹奖。
　　 本文第一章介绍了Proper映照和Loewner链的一些基本知识和现有结论以及本文主要结论。
　　 第二章主要研究了有界解析函数的拓扑度和上半平面到上半平面的逆紧映照的具体形式。
　　 第三章主要从以下几个方面着手考虑Loewner链gt(z)的边界性质：
　　 (1)考察Lt的单调性，我们证明了Lt是单调递增的；
　　 (2)估计Lt长度，我们得到了Lt长度与驱动函数、上半平面的容量及对数容量之间的关系；
　　 (3)讨论Loewner链gt(z)在边界上的导数，估计这个导数的范围和它增长的快慢；
　　 (4)考察具有特殊性质的驱动函数λ(t)对应的Loewner链gt(z)的性质。