基于小波和多重网格法求解微分方程

摘要

多重网格方法在求解由微分方程离散得到的线性和非线性方程组时，通过采用不同的网格步长以满足迭代法的“分层收敛性”，使迭代加速。但是，在多重网格算法中，选择合适的粗网格层和适当的粗细层间的转换算子是比较困难的。基于此，本文将小波和多重网格算法相结合，以小波多分辨分析的尺度空间作为多重网格法的粗网格层，相应的小波低通（或高通）滤波器和它的共轭转置作为限制算子和插值算子，构造出了一种基于小波的多重网格方法。
　　本文给出了小波-多重网格算法的计算结构，并将其与传统多重网格法作比较。数值实验表明，利用小波-多重网格法求解微分方程能够达到更小的误差，收敛速度比传统多重网格方法也有一定的提高。本文还给出了在多分辨分析的框架下，网格截断误差和层间校正量之间的正比例关系。这样能通过校正量来选取需要局部加密的区域，使多重网格和自适应小波算法结合起米，进一步提高计算效率。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 多重网格方法和小波分析

1．2 论文的内容安排

第二章 小波分析

2．1 小波多分辨分析

2．1．1 一维小波多分辨分析

2．1．2 二维小波多分辨分析

2．2 小波分解和重构

2．2．1 小波分解

2．2．2 小波重构

2．3 双正交和正交滤波器

第三章 多重网格法

3．1 多重网格法的基本思想及一般格式

3．2 套迭代

3．3 二重网格方法

3．4 多重网格V循环

3．5 其它循环方式的多重网格法

第四章 小波—多重网格方法

4．1 小波多分辨分析与多重网格的相似性

4．2 截断误差与校正量之间的关系

4．3 小波限制和插值算子

4．4 小波—多重网格算法的提出

第五章 数值实验

5．1 数值实验一

5．2 数值实验二

第六章 结论及展望

6．1 计算结果讨论

6．2 研究展望

参考文献

致谢

附录A：攻读硕士学位期间发表的学术论文

附录B：数值实验计算机代码