几类可对称化矩阵反问题及其最佳逼近

摘要

代数特征值反问题(又称矩阵特征值反问题或代数逆特征值问题)就是根据给定的谱数据重新构造矩阵，其中给定的数据可能由全部或部分特征值或特征向量组成。代数特征值反问题在结构设计、系统参数识别、主成分分析、电学、固体力学、结构动力学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论等领域都有着重要应用。 本篇硕士论文研究了下面几个问题：问题Ⅰ给定矩阵X∈Rn×k，Λ=diag(λ，λ2，…，λk)∈Rk×k，集合S()Rn×n，求矩阵A∈S，使得AX=XΛ. 问题Ⅱ给定矩阵A∈Rn×n，求矩阵A∈SA，使得‖^A-～A‖=minA∈SA‖A-～A‖.其中SA表示问题Ⅰ的解集合。 问题Ⅲ给定矩阵X∈Rn×k，Λ=diag(Λ1,…，Λk)∈k×k，其中Λ1,…，Λl是一阶或者二阶实矩阵，集合S1()Rn×n，S2()Rn×n，求A∈S1，B∈S2，使得AX=BXΛ 问题Ⅳ已知矩阵～A，～B，∈Rn×n，求矩阵对(～A，～B)∈SAB，使得‖(～A，～B)-(^A，^B)‖F，W=(inf(A,B)∈SAB‖(～A，～B)-(A，B)‖F,W=inf(A,B)∈SAB‖[(～A，～B)-(A,B)](TWW)-1‖F.其中SAB={(A，B)|AX=BXΛ,A∈S，B∈S2}是问题Ⅲ的解集合。 本文主要研究成果如下：设W为一非奇异矩阵。1.对于问题Ⅰ和问题Ⅱ，本文就S是W可对称化矩阵集合、W可对称非负定化矩阵集合以及线性流形上W可对称化矩阵集合等三种情况进行了研究，分别给出了这三种情况下问题Ⅰ的解存在的充分必要条件，以及解集合的通式表达式，给出了这三种情况下的最佳逼近解，并提供了相应的数值算法和数值实例。 2.对于问题Ⅲ、问题Ⅳ，本文就如下几种情况对该类问题进行了讨论：1)S1，S2都为W可对称化矩阵集合；2)S1，S2都为W可反对称化矩阵集合；3)S1为W可对称化矩阵集合，S2为W可反对称化矩阵集合；4)S1为W可反对称化矩阵集合，S2为W可对称化矩阵集合。 在研究这些矩阵的基本性质的基础上，本文给出了问题Ⅲ、问题Ⅳ的通解表达式以及相应的数值算法和数值例子。

目录

文摘

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第1章引言

第2章几类W可对称化矩阵特征值反问题

第3章几类W可对称化实矩阵广义特征值反问题

结论

参考文献

附录A(攻读学位期间所发表的学术论文目录)

致谢