广义自反矩阵和广义反自反矩阵的最小二乘及其最佳逼近问题

摘要

约束矩阵方程广泛应用于控制理论、土木工程、振动理论、经济领域、工程计算等许多领域. 本文研究了如下广义自反矩阵和广义反自反矩阵的最小二乘解及其最佳逼近问题： 问题1：给定矩阵X;B, 求矩阵方程AX = B在集合S中有解,其中S集合是满足某些约束条件的矩阵类. 问题2：给定矩阵X;B, 求矩阵方程AX = B在集合S中的最小二乘解，其中S集合是满足某些约束条件的矩阵类. 本文的主要研究结果如下： 1.当S是广义自反矩阵集合和广义反自反矩阵集合时，我们利用这两类矩阵的结构和性质，获得了问题1解存在的充分必要条件和问题2解的表达式，并在问题2解的基础上，得到了问题3的解的表达式.同时，给出了数值例子，验证了所得结果的正确性。 2.当S为自反矩阵集合和反自反矩阵集合时，在线性流形上，我们利用这两类矩阵的结构和性质讨论了问题2及相应问题3，分别获得了问题2解的表达式及相应问题3最佳逼近解的表达式. 同时讨论了矩阵方程AX + XA = C，获得有自反解和反自反解的条件及解的表达式。 3.当S为广义自反矩阵和广义反自反矩阵集合时，在线性流形上，分别获得了问题2解的表达式及相应问题3最佳逼近解的表达式。