基于自由度缩减的局部无网格伽辽金方法研究

摘要

作为20世纪建立的最有效的工程数值分析工具，有限元法不仅自身理论得到了迅猛发展，而且还解决了大量重大科学和工程问题，受到工程界的普遍重视。但是随着时代的发展，有限元方法遇到了越来越大的挑战，对于许多不连续问题，比如动态裂纹扩展、材料破坏及失效、材料相变以及大变形等，采用有限元方法求解都是困难的，因为他们需要在计算过程中需要不断的划分网格，这必然使计算量加大，增加计算时间。
　　 无网格方法为有效解决上述问题带来了希望。无网格方法是上个世纪90年代发展起来的一种数值计算方法，与有限元方法不同的是，无网格法的插值函数是建立在一些点上，而不是网格上，因此就不存在有限元方法对网格的依赖性，进而可以很好的解决上述问题。但是无网格的一个明显缺点是计算量大，求解出同样精度时，无网格方法消耗的时间更长。
　　 为了解决这个问题，本文提出了基于自由度缩减的局部无网格伽辽金方法并采用该方法来模拟弹性变形问题。该方法分别采用了基于多项式的RPIM插值和MK插值作为自己的插值函数，可以像有限元方法一样直接施加本质边界条件。通过伽辽金弱形式的无网格方法来对每个子域进行计算，在每个子域中进行局部插值点搜索，然后将缩减自由度的方法运用到系统方程中去，简化了局部离散方程的弱形式，可以将内部节点的方程转换为外部边界节点的方程。需要提出的是，与无网格方法插值所用到的影响域不同的是它的子区域可以为任意形状的。本文还讨论了相邻子区域的协调性和该方法的收敛性，同伽辽金型无网格方法相比，本文将系统方程做了一些修改以增加计算效率。从数值试验中可以看出基于自由度缩减的局部无网格伽辽金方法与标准的无网格伽辽金方法相比有着更高的计算效率。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 选题背景及意义

1．2 无网格方法国内外研究现状

1．3 本文的主要研究内容

第2章 形函数的构造及相关数值计算

2．1 引言

2．2 问题域的离散

2．3 基于子域的插值方法

2．3．1 基于子域的RPIM插值方法

2．3．2 基于子域的MK插值方法

2．3．3 分片测试

2．4 相关数值计算

2．4．1 点在三角形及多边形内部的判断

2．4．2 积分方案

2．4．3 高斯积分

2．4．4 本质边界条件的施加

2．5 本章小结

第3章 基于子域的局部无网格伽辽金方法

3．1 引言

3．2 基于子域的局部无网格伽辽金方法的基本理论

3．3 程序实现

3．4 基于RPIM插值的算例

3．4．1 悬臂梁问题计算

3．4．2 简支梁算例

3．4．3 水坝问题应力分析

3．5 基于MK插值的算例

3．5．1 悬臂梁问题计算

3．6．2 水坝问题

3．7 本章小结

第4章 采用自由度缩减的局部无网格伽辽金方法

4．1 引言

4．2 自由度缩减

4．3 程序实现

4．4 采用RPIM插值的自由度缩减算例

4．4．1 悬臂梁问题计算

4．4．2 简支梁算例

4．4．3 水坝问题

4．5 采用MK插值的自由度缩减算例

4．5．1 悬臂梁问题计算

4．5．2 平面应变问题求解

4．6 本章小结

结论与展望

结论

展望

参考文献

致谢

附录 攻读硕士学位期间所发表的学术论文目录