几类矩阵方程最小二乘解定秩研究

摘要

约束矩阵方程的最小二乘解被广泛应用于结构设计，系统识别，线性控制等很多领域，研究约束矩阵方程最小二乘解有关秩的问题，对于这一领域的理论和实际应用都有非常重要的意义.
　　 本篇硕士论文研究的问题如下:
　　 问题1:给定A∈Cm×p，B∈Cm×n，设矩阵X∈S(∈)Cp×N，使得‖AX-B‖=min.
　　 (1)确定最小二乘解X的最大秩M和最小秩m;
　　 (2)分别给出具有最大秩M和最小秩m的最小二乘解的表达式;
　　 (3)若整数m＜t＜M，给出秩为t的最小二乘解.
　　 问题2:给定矩阵A∈Cm×n，B∈Cp×q，C∈Cm×q，设矩阵方程AXB=C的最小二乘解集合为S，即S={X∈Cn×p|‖AXB-C‖=min},
　　 (1)求集合S秩的范围[m，M];
　　 (2)若t∈[m，M]，设St(∈)S表示S中秩为t的元素集合，求St中元素的一般表达式.
　　 问题3:给定A∈Rm×n，B∈Rm×m，设对称矩阵X∈SRn×n，使得‖AXAT-B‖=min.
　　 (1)确定对称最小二乘解X的最大秩M和最小秩m;
　　 (2)分别给出具有最大秩M和最小秩m的对称最小二乘解的表达式;
　　 (3)若整数m＜t＜M，给出秩为t的对称最小二乘解.
　　 主要研究成果如下:
　　 1，当S取Cp×n时，利用矩阵的奇异值分解，QR分解和分块矩阵秩不等式相关理论得到了最大秩，最小秩和任意秩的解集合.
　　 2，当S分别取SRn×n，ASRn×n，BSRn×n，KSRn×n时，首先利用分块矩阵的性质，矩阵的奇异值分解和相关秩的理论对矩阵方程AX=B的对称，反对称，双对称，次对称最小二乘解的秩进行了讨论，进而得到矩阵方程AX=B的满足秩条件下的对称，反对称，双对称，次对称最小二乘解.
　　 3，对于问题2，利用矩阵的奇异值分解，初等变换和相关秩的性质等得到了秩的范围和St中元素的一般表达式.
　　 4，利用对称矩阵的性质和矩阵的奇异值分解等得到问题3的最大秩，最小秩和满足秩条件下的对称最小二乘解.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题发展概况

1．2 本文的主要工作及创新点

1．3 本文所用记号

第2章 秩约束下矩阵方程AX=B的最小二乘解

2．1 矩阵方程AX=B最小二乘解的定秩研究

2．1．1 几个引理

2．1．2 问题1的主要结果

2．2 矩阵方程AX=B的对称最小二乘解的定秩研究

2．2．1 几个引理

2．2．2 问题1的主要结果

2．3 矩阵方程AX=B的反对称最小二乘解的定秩研究

2．3．1 几个引理

2．3．2 问题1的主要结果

2．4 矩阵方程AX=B的双对称最小二乘解的定秩研究

2．4．1 几个引理

2．4．2 问题1的主要结果

2．5 矩阵方程AX=B的次对称最小二乘解的定秩研究

2．5．1 几个引理

2．5．2 问题1的主要结果

第3章 矩阵方程AXB=C的最小二乘解的定秩研究

3．1 几个引理

3．2 问题Ⅰ的主要结果

第4章 矩阵方程AXAT=B的对称最小二乘解的定秩研究

4．1 几个引理

4．2 问题1的主要结果

结论

参考文献

致谢

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