几何动量、几何势能与约束体系中一种新的代数对称性

摘要

约束无处不在。在微观层次，石墨烯、C60分子、纳米管等低维系统都是典型的约束系统。不但其中载流子的运动被约束在二维弯曲的曲面上，而且这些体系的一些整体运动例如转动也是约束运动。在宇观层次，整个宇宙就是一个体积有限体系，任何物理过程和信息交换都发生在这个受限体系内。
　　 近年来的理论和实验研究表明，对约束在二维曲面上的运动，约束能导致新的量子效应:几何动量和几何势能。这种几何效应的最先导出需要用到薛定谔方程和所谓的限制势技术。这种技术的核心是薛定谔方程必须首先写在三维平直空间中，然后通过限制势把运动约束在二维弯曲曲面附近。这个技术有一个明显的理论缺陷:为什么不能把薛定谔方程直接写到曲面上？换言之，尽管知道这样做的后果得不到几何动量和几何势能，但理论本身并不排斥这种作法。不妨把这个问题称之为问题一。
　　 由于量子化是建立薛定谔方程的基础，而正则量子化又是所有量子化的基础。在通常的正则量子化理论中，把正则坐标和正则动量之间的对易关系假定为基本量子条件。把一些重要的力学量（例如哈密顿量）和一些重要的关系（例如运动方程）的量子化作为推论而导出。但这些导出性或从属性的理论之间的自洽性要求另一个规则:存在一个平直的底空间并利用笛卡尔坐标系进行量子化。这一点早在1920年代就被狄拉克注意到。这个运算规则不像是物理学基本理论的一部分，而且在运用到弯曲曲面时会导致无法获得体系哈密顿量的唯一形式。不妨把这个问题称之为问题二。
　　 文献中对问题一、二有许多研究，有群量子化，几何量子化，增强量子化等等，但都只能解决部分的问题而非全部。我们提出的解决方案如下。将在狄拉克正则量子化理论的基础上进行了如下增强:将坐标，动量和粒子哈密顿量之间的对易关系定义为体系的第二类基本对易关系，而且在量子化的过程中不改变坐标，动量和哈密顿量之间的基本代数关系，从而使得坐标，动量和哈密顿量同时量子化。我们把这个扩展后的量子化理论称之为增强型正则量子化方案(SCQS)，这种代数量子化方案，在量子化过程中，保持了坐标、动量和哈密顿量之间的代数关系不变，反映了一种特殊的对称性，即代数对称性。这一理论方案并不能解决全部困难，但能较好地解决问题一，部分解决问题二，不过最重要的是可以得到几何动量和几何势能的唯一形式。这一理论也需要平直的外部空间和笛卡尔坐标系。所以几何动量和几何势能是一嵌入效应。
　　 本研究主要利用增强型正则量子化方案处理平直空间中的约束在如下曲面上的量子自由运动:二维球面、任意维球面、二维圆环面、轴对称极小曲面等。表明新的代数对称性在量子化之后仍然保持，从而我们将假设SCQS普遍成立。全文总共分为五章。
　　 第1章，首先综述了约束体系量子化及其研究进展，然后简单回顾了薛定谔理论处理二维曲面上粒子的量子运动，最后介绍了狄拉克约束体系正则量子化理论。
　　 第2章，首先介绍了二维曲面的SCQS，然后将利用SCQS处理的二维球面和三维球面上粒子的量子运动作为两个示例简单介绍了一下，发现三维空间中的二维球面的几何动量在Monge参数形式下具有几何不变性;得到了在准内禀几何中三维球面的SCQS不自洽，它在量子化过程中动量与哈密顿量之间的对易关系破坏了它们之间的基本代数关系，所以只能从外部几何的角度构建SCQS，并且得到了嵌入在四维欧几里得空间的三维球面上粒子的几何势能与几何动量，此时的坐标、动量和哈密顿量之间的代数关系保守不变，并且得到的几何势能与薛定谔理论的结论完全一致。
　　 第3章，研究了约束在任意维球面上粒子的量子运动。发现在准内禀几何中n-1维球面上运动粒子的正则动量与哈密顿量之间的对易关系破坏了它们之间的代数关系，从而导致SCQS不自洽，所以用准内禀几何描述n-1维球面上粒子的量子运动是不适合的;而当将n-1维球面嵌入在n维欧几里得空间中考虑粒子的量子运动时，利用代数对称性进行量子化，得到了粒子的几何动量和几何势能的具体形式，并且哈密顿量与薛定谔理论得到的结果完全一致。
　　 第4章，研究了约束在二维圆环面上粒子的量子运动。由于二维圆环面正则动量与哈密顿量的对易关系破坏了它们之间的代数关系，表明了狄拉克正则量子化不能在内禀几何的框架下构建;而从三维欧几里得空间中考虑二维圆环面上粒子的量子运动，利用代数对称性进行量子化时，得到了粒子的几何势能和几何动量，并且它们也与薛定谔理论的结论完全相符，所以二维圆环面上粒子的量子运动可以在三维平直空间中构建。
　　 第5章，研究了约束在二维轴对称极小曲面——悬链面上粒子的量子运动。通过自洽的方式得到了在准内禀几何中SCQS不适用;而在三维欧几里得空间中，利用代数对称性进行量子化时，得到的几何势能和几何动量都与薛定谔理论的结果相同。
　　 本文的最后对全文进行了简单的总结。

目录

声明

摘要

插图索引

第1章 绪论

1．1 平直空间与狄拉克正则量子化

1．2 薛定谔量子化方案，几何势能和几何动量

1．3 狄拉克约束体系正则量子化理论

1．4 研究的动机和本文的构成

第2章 增强型正则量子化方案及两个示例

2．1 二维曲面增强型正则量子化方案

2．2 二维球面在Monge参数形式下增强型正则量子化方案

2．2．1 Monge参数形式下二维球面上粒子运动的经典力学

2．2．2 Monge参数形式下二维球面上粒子运动的量子力学

2．3 三维球面的增强型正则量子化方案

2．3．1 嵌入四维欧几里空间三维球面上粒子运动的经典力学

2．3．2 嵌入四维欧几里空间三维球面上粒子运动的量子力学

2．3．3 准内禀几何中三维球面上自由粒子运动的经典力学

2．3．4 准内禀几何中三维球面上自由粒子运动的量子力学

2．4 小结和讨论

第3章 高维球面的增强型正则量子化方案

3．1 嵌入n维欧几里得空间n-1维球面的增强型正则量子化方案

3．1．1 嵌入n维欧几里得空间n-1维球面子流形经典力学

3．1．2 嵌入n维欧几里得空间n-1维球面子流形量子力学

3．2 准内禀几何中n-1维球面的增强型正则量子化方案

3．2．1 准内禀几何中n-1维球面上自由粒子的经典力学

3．2．2 准内禀几何中n-1维球面上自由粒子的量子力学

3．3 小结和讨论

第4章 圆环面的增强型正则量子化方案

4．1 准内禀几何中二维圆环面的增强型正则量子化方案

4．1．1 圆环面坐标下约束在圆环面上运动粒子的经典力学

4．1．2 圆环面坐标下约束在圆环面上运动粒子的量子力学

4．2 嵌入三维欧几里得空间二维圆环面的增强型正则量子化方案

4．2．1 嵌入三维欧几里得空间二维圆环面子流形经典力学

4．2．2 嵌入三维欧几里得空间二维圆环面子流形量子力学

4．3 小结和讨论

第5章 悬链面的增强型正则量子化方案

5．1 准内禀几何中二维悬链面上自由粒子的增强型正则量子化方案

5．1．1 准内禀几何中二维悬链面上自由粒子的经典力学

5．1．2 准内禀几何中二维悬链面上自由粒子的量子力学

5．2 嵌入三维欧几里得空间二维悬链面的增强型正则量子化方案

5．2．1 嵌入三维欧几里得空间二维悬链面子流形经典力学

5．2．2 嵌入三维欧几里得空间二维悬链面子流形量子力学

5．3 小结和讨论

结论

参考文献

附录A 攻读学位期间所发表的论文目录

致谢