基于正交多项式的声子晶体不确定性分析方法研究

摘要

目前对于声子晶体和声学超材料的研究大多是基于确定的模型。然而，在实际情况中，声子晶体和声学超材料结构往往存在诸多的不确定性，比如随着温度变化的材料属性、尺寸的变化以及外部载荷和边界条件的改变。一般情况下，声子晶体和声学超材料对于不确定性是较为敏感的，结构尺寸微小的变化会引起系统响应产生较为明显的波动。因此，在设计或应用声子晶体和声学超材料的这些奇特的属性时，应该考虑不确定性对它的影响。
　　为了研究各类不确定性对声子晶体和声学超材料响应的影响，本文主要对随机不确定性和区间不确定性进行研究，构建声子晶体和声学超材料的不确定数值分析模型，并提出相应的不确定数值分析方法。
　　本文主要的研究内容如下：
　　（1）针对声学超材料区间不确定问题，提出切比雪夫多项式展开-蒙特卡洛方法（Interval Chebyshev expansion-Monte Carlo Simulation method，简称为ICE-MCSM）。首先，采用截断Chebyshev展开多项式近似拟合多层穿孔超材料声学透射率响应曲线，构建其声学透射率响应曲线的代理模型，代替了现有的有限元声学透射率计算方程；然后，通过蒙特卡洛模拟方法随机的生成大量的样本数据点，并将这些样本点代入代理模型来计算单个不确定区间变量和多个区间不确定变量声学透射率的区间边界。结果表明，ICE-MCSM计算得到的区间上、下界均能很好地与直接蒙特卡洛模拟方法（Direct Monte Carlo Simulation Method，简称为DMCSM）得到的上、下界有较好的拟合。
　　（2）针对声子晶体区间不确定问题，提出改进的切比雪夫-蒙特卡洛模拟法（Improved Chebyshev polynomial expansion-Monte Carlo Simulation method，简称为ICPE-MCSM）。首先，采用改进Chebyshev展开多项式近似拟合声子晶体能带结构曲线，构建声子晶体能带结构的代理模型。然后把通过蒙特卡洛模拟方法随机生成的样本数据点代入代理模型来预测声子晶体能带结构的区间边界。结果表明，ICPE-MCSM计算得到的区间上下界能够很好的与 DMCSM方法计算得到的结果较好的吻合；而且，对于多个区间不确定变量的问题，相比于传统切比雪夫多项式方法相比，其计算效率得到较大的提高。
　　（3）针对声子晶体随机不确定问题，提出改进盖根鲍尔方法（Improved Gegenbauer polynomial expansion，简称为 IGPE）。首先，采用改进 Gegenbauer多项式近似拟合声子晶体能带结构曲线，构建声子晶体能带结构的代理模型，代替有限元方程计算声子晶体能带结构。然后通过代理模型来预测不确定声子晶体模型在随机不确定条件下的期望和方差。结果表明，IGPE计算得到的期望和方差响应能与DMCSM计算结果基本吻合。

目录

声明

第1章 绪论

1.1 课题背景与研究意义

1.2 不确定模型的类型

1.3 不确定数值分析方法的国内外研究现状

1.4 研究思路与研究内容

第2章 声子晶体能带结构的有限元计算方法

2.1 弹性波波动方程

2.2 声子晶体能带结构的有限元计算方法

2.3声子晶体有限元计算案例

2.5 本章小结

第3章 基于Chebyshev展开的区间穿孔板超材料研究

3.1多层穿孔板超材料有限元理论

3.2不确定条件下多层穿孔板超材料声学透射率ICE-MCSM

3.3 多层穿孔板超材料声学透射率的ICE-MCSM区间分析

3.4本章小结

第4章 基于改进Chebyshev展开的声子晶体区间分析

4.1 改进Chebyshev的方法理论

4.2 两种方法精度对比

4.3 ICPE-MCSM计算步骤

4.4 数值案例

4.5 本章小结

第5章 基于改进Gegenbauer的声子晶体不确定分析

5.1 Gegenbauer多项式展开理论

5.2 改进Gegenbauer多项式展开理论

5.3 声子晶体能带结构IGPE计算步骤

5.4 数值算例

5.5 本章小结

总结与展望

参考文献

致谢

附录A（攻读学位期间所发表的学术论文目录）