基于几何代数的计算机视觉问题研究

摘要

本文在计算机视觉问题的研究中引入一个新的数学工具——几何代数，几何代数作为一个融合了几何特点和代数特性的新的数学系统，在多维信号的矢量处理以及几何量、几何关系建模和几何计算中具有突出的优势。本文在几何代数的数学框架内，围绕计算机视觉中基于图像的三维重建问题进行了一些探索性的研究，主要研究了彩色图像的匹配、两视图中的对极几何约束、像机内参数标定等内容。论文的主要研究内容包括：
　　（1）推导了射影几何的几何代数表示。在介绍了几何代数的矢量模型和齐次模型的基础上，本文分析了射影几何中点、线、面等几何体的几何代数表示，以及几何体的交、并、对偶等几何代数表示，推导了射影几何中的交比不变量的几何代数形式，并分析了其几何解释。通过这部分的分析，为射影几何提供了一种不依赖于坐标的表示方法，这种方法在几何问题建模中具有简洁、几何意义明确的特点，而且为几何问题的求解提供了一种鲁棒的整体几何计算思路。
　　（2）研究了基于相位相关的彩色图像匹配方法。本文将彩色图像中每个像素位置的颜色矢量表示成一个纯四元数，然后基于四元数的矢量分析方法研究了基于相位相关的彩色图像的匹配。文章首先分析了四元数傅里叶变换的定义，以及四元数傅里叶变换的性质，提出了基于四元数傅里叶变换和对数-极坐标变换的彩色图像匹配新方法。本文方法与灰度图像匹配方法不同，不会丢失颜色信息，而且也不同于分量处理的方法，本文方法对彩色图像采取的是直接的整体处理方法，在处理过程中保持了颜色的矢量属性。对不同类型的彩色图像所进行的匹配实验表明，本章方法不但计算精度较高，而且计算效率也比其他几个方法要高。
　　（3）研究了彩色图像特征描述。在基于特征点的图像匹配中，为了获得更好的匹配性能，提高点特征的区分能力和对光照变化的鲁棒性，特征描述符中引入了颜色信息。不过彩色特征描述符得到的特征向量维数比较高，限制了特征匹配的计算速度，应用受到制约。本文在彩色图像的四元数表示的基础上，利用四元数主成分分析方法研究了彩色图像特征向量的降维，得到了一个紧凑的彩色图像特征描述符，实验结果表明，本文特征描述符的性能与降维前的特征描述符相比，性能没有损失而匹配计算效率得到了很大提高。
　　（4）研究了基于几何代数的对极几何约束和像机标定方法。本文从纯几何的角度推导了几何代数表示的像机模型，推导了点、线的投影矩阵，在此基础上推导了两视图中的对极几何约束，得到了几何代数表示的基础矩阵，并分析了基础矩阵的性质及基于基础矩阵的像点的约束条件。针对像机标定问题，本文首先研究了几何代数表示下的平面二次曲线的射影定义，根据该定义分析了平面二次曲线的射影不变量，得到了平面二次曲线的射影不变量方程表示，将该不变量方程应用到绝对二次曲线得到了绝对二次曲线图像的方程形式，利用该方程提出了一个基于圆环点图像的绝对二次曲线图像的求解方法，进而可以得到像机内参数的标定，实验表明这种标定方法是可行的。在本文前面章节研究的基础上，文章对基于图像的三维重建进行了实验，探索了基于几何代数的计算机视觉三维重建的可行性和有效性。

目录

封面

声明

目录

中文摘要

英文摘要

第一章 绪论

1.1 研究背景与研究意义

1.2 相关理论的发展与应用现状

1.3 论文研究内容与结构安排

第二章 几何代数及射影几何基础

2.1 矢量代数的扩展

2.2 几何代数的基本概念

2.3 射影几何

2.4 小结

第三章 基于相位相关的彩色图像匹配

3.1 引言

3.2 数学基础

3.3 彩色图像配准

3.4 实验结果

3.5 小结

第四章 基于QPCA的彩色图像特征描述

4.1 引言

4.2 RGB-SIFT特征描述符

4.3 基于QPCA的特征描述符

4.4. 匹配性能测试

4.5结论

第五章 基于几何代数的对极几何约束及像机标定

5.1 概述

5.2 几何代数表示的像机模型

5.3 几何代数表示的对极几何约束

5.4 二次曲线的不变量表示及像机标定

5.5 三维重建实验

5.6 小结

第六章 总结与展望

6.1 全文总结

6.2 工作展望

致谢

参考文献

作者在学期间取得的学术成果