对称非线性方程组的Broyden族方法

摘要

拟牛顿法是求解无约束优化问题和非线性方程组的一类非常有效的算法.在众多的拟牛顿算法中，Broyden族方法最具代表性，其中包括著名的BFGS方法.对于求解无约束优化问题的拟牛顿法的全局收敛性和局部收敛性的研究已经比较完善.关于求解非线性方程组的拟牛顿法的局部收敛性质的研究取得了很大的进展，但关于其全局收敛的研究不多，主要原因是此时的拟牛顿方向不一定是通常度量函数的下降方向.Griewank(1986)、Li和Fukushima(2000)分别证明了Broyden秩一方法在不同条件下求解非线性方程组具有全局收敛性质.基于Gauss-Newton法，Li和Fukushima(1999)提出了一种求解对称非线性方程组的BFGS方法并建立了全局收敛性结果.
　　本文讨论求解对称非线性方程组的拟牛顿法，将Li和Fukushima(1999)的BFGS方法推广到Broyden族方法并研究其收敛性质.本文内容安排如下:
　　第一章简要介绍论文背景及相关的预备知识.
　　第二章给出算法的基本思想及具体算法.充分利用问题的对称性结构，结合Gauss-Newton法的思想，我们提出一类求解对称非线性方程组的Broyden族方法，推广了Li和Fukushima(1999)提出的BFGS方法.
　　第三章分析了算法的收敛性质.在适当条件下，我们证明了所提算法具有全局收敛性和局部的超线性收敛速度，推广了已有的相关结果.
　　第四章给出了一些具体算例验证算法实际计算效果.数值结果表明，选择适当的参数，Broyden族算法比Gauss-Newton型BFGS算法在数值表现上有优越性.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 求解非线性方程组的拟牛顿法

1．2 求解无约束最优化问题的拟牛顿法

1．3 DFP校正

1．4 BFGS校正

1．5 Broyden族校正

1．6 研究内容及主要研究工作

第二章 求解对称非线性方程组的Broyden族方法

2．1 引言

2．2 Gauss-Newton型BFGS方法

2．3 Broyden族方法

第三章 全局收敛性分析和超线性收敛性分析

3．1 全局收敛性分析

3．2 超线性收敛性分析

第四章 数值实验及结果分析

结论

参考文献

致谢

附录