基于递推随机有限元方法的结构频率的概率密度分析

摘要

传统的工程结构设计和分析中的力学模型是确定性的,不考虑或者说忽略了结构的随机性,当且仅当原系统的变异性非常小的时候,采用确定性模型所分析和计算的结果才比较符合实际的情况。现实中的工程结构往往存在一定数量的不确定性,为了尽可能的反映结构的真实动力特性,目前的研究大多是在考虑参数随机性的基础上对结构动力特性的分析。在结构动力学的背景下,为了考虑到这些不确定因素,有必要对结构频率的联合概率分布进行分析,而分析这类问题的方法以蒙特卡洛模拟方法和摄动法为主。
　　 蒙特卡洛模拟方法比较耗时,特别是对大自由度系统更是如此。摄动法仅对小变异和随机参数服从高斯分布的问题才有效。基于上述原因,本文提出了一种新的求解随机有限元的方法——递推随机有限元法,本方法能解决大变异随机变量的问题,并且对随机参数的分布没有限制,简单而有效。
　　 本文对以下几个方面进行了研究工作:
　　 1.在高洪波的硕士论文中随机参数考虑为高斯分布随机变量,通过与蒙塔卡洛方法,一阶摄动和二阶摄动法的比较,验证了递推随机有限元方法的准确性和有效性。在本文中则取随机参数为贝塔分布或均匀分布的随机变量,通过与Monte-Carlo模拟结果的比对,说明递推随机有限元方法对随机参数的分布没有限制,同时也说明递推随机有限元法的有效性。
　　 2.采用非正交多项式表示结构的圆频率,建立和摄动法类似的确定性递推方程,求解出该非正交多项式的各阶扩展系数。然后根据所采用的随机参数的分布类型生成相应的随机数序列。根据Monte-Carlo模拟的思想,利用圆频率的非正交多项式产生圆频率的十万次样本。然后与直接的Monte-Carlo模拟的结果进行比对,说明该种方法的有效性。
　　 3.Edgeworth展式是一种求解非高斯概率密度函数的渐近展式。本文中阐述了Edgeworth渐近展式的推导过程,并分别对一阶Edgeworth展式和二阶Edgeworth展式中的累积量函数和联合累积量函数进行了求解。并利用该方法求解了典型结构网频率的概率密度函数。
　　 4.利用文中的方法、Monte-Carlo模拟法和Edgeworth渐近展式三种方法求解了结构圆频率的概率密度函数,通过对三种方法求解结果的比较,验证本文方法能够更好的拟合Monte-Carlo模拟的结果。通过对结构网频率的概率密度的求解,掌握了结构的基本动力特性的全概率信息,能够更好的对结构进行分析。