非等间隔灰色模型的稳定性和病态性研究

摘要

经过30多年的发展，灰色系统理论广泛应用于经济、农业、工业、生态、控制等领域，取得了许多研究成果，其中灰建模、灰预测、灰决策、灰评估研究颇多，但灰色模型的特性研究相对较少，如模型的稳定性和病态性等。
　　在系统的分析与设计中，研究系统模型的稳定性一向是系统理论首要考虑、解决的问题，不稳定的系统实际上是不能付之使用的。同样在模型求解时，模型的病态性也不能忽视。灰色系统模型自提出以来多数是以等间隔模型为研究对象来展开模型性质的研究，而非等间隔灰色模型才最贴近实际生活、工作，因此本课题选取非等间隔灰色Verhulst模型和等间隔GM(1，1|τ，r)模型为研究对象，主要对其在稳定性和病态性方面展开研究。
　　(1)研究了非等间隔灰色Verhulst模型的稳定性和病态性问题。在模型稳定性方面，将该模型看作控制系统模型，结合Verhulst模型解的特点和控制系统模型平衡状态的稳定性来研究Verhulst模型的稳定性，从数学的角度分析，在满足何种条件下系统的解收敛于系统的平衡状态，最终得出模型的稳定性定理及结论。在模型的病态性研究方面，本课题从降低模型参数矩阵条件数和提高模型精度两方面来改善模型的病态性，首先将该模型的微分方程线性化处理，得出模型解的新形式，再重构模型背景值，通过实例分析表明该方法有效改善了模型的病态性。
　　(2)研究了等间隔GM(1，1|τ，r)模型的稳定性和病态性问题。在模型稳定性研究方面，结合模型的方程式，参考时滞微分方程理论及时滞系统解的稳定性研究方法，在时滞系统解的渐进性基础上，利用特征方程和微积分理论，给出了模型解的稳定性定理及结论，结果表明，模型解的稳定性与初始条件和相应特征方程的特征根有着紧密联系。在模型病态性研究方面，首先对原始数据序列作数乘变换得出新的建模序列，其次采用反向累积法替代传统的最小二乘法对处理后的序列建立模型，实例验证该方法对改善模型的病态性也是有效的。
　　(3)结合时滞灰色绝对关联度和最小误差函数，给出了GM(1，1|τ，r)模型参数τ,r的确定方法，通过实例验证了方法的有效性。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 选题背景

1．2 研究目的及意义

1．3 国内外研究现状

1．3．1 非等间隔灰色模型的研究现状

1．3．2 灰色模型稳定性的研究现状

1．3．3 灰色模型病态性的研究现状

1．4 研究内容及研究思路

第2章 灰色Verhulst模型的稳定性与病态性

2．1 非等间隔灰色Verhulst模型

2．2 非等间隔灰色Verhulst模型的稳定性

2．3 矩阵条件数理论

2．4 非等间隔灰色Verhulst模型的病态性研究

2．4．1 非等间隔灰色Verhulst模型的线性化

2．4．2 非等间隔灰色Verhulst模型的背景值改进

2．4．3 模型病态性分析

2．5 实例分析

2．6 本章小结

第3章 GM(1，1|τ，r)模型的稳定性与病态性

3．1 等间隔灰色GM(1，1|τ，r)模型

3．2 等间隔灰色GM(1，1|τ，r)模型的稳定性

3．3 等间隔灰色GM(1，1|τ，r)模型的病态性研究

3．4 实例分析

2．6 本章小结

第4章 GM(1，1|τ，r)模型的参数确定

4．1 模型参数的证明

4．2 模型参数τ，r的确定方法

4．3 模型应用实例

4．4 本章小结

第5章 总结与展望

5．1 总结

5．2 展望

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间发表论文及参加科研项目情况