鞅算子及其生成的弱鞅空间的原子分解

摘要

本文主要讨论由一般鞅算子及其生成的弱鞅空间的原子分解问题，主要包括以下几个方面的内容:弱空间上的基本鞅不等式，一般鞅算子生成的Banach空间值弱Hardy鞅空间的原子分解；一般鞅算子的平削算子生成的Banach空间值弱Garsia鞅空间的原子分解；Banach空间值弱Hardy鞅空间之间的嵌入关系，Banach空间值弱Hardy鞅空间和弱Garsia鞅空间之间的嵌入关系；鞅变换算子在弱鞅空间上的有界性. 本文主要由六章组成: 绪论部分简要介绍了本研究课题的选题背景，国内外研究近况以及研究意义，并概述了本文的主要工作情况. 预备知识部分介绍了本文中涉及到的鞅论中的基本概念、引理以及Banach空间的几何性质. 第三章主要讨论了经典Doob不等式和Burkholder-Gundy-Davis不等式在弱空间中的推广. 第四章和第五章是本文的核心部分，定义了由一般鞅算子生成的Banach空间值弱鞅空间，讨论了由算子及其平削算子生成的弱鞅空间的原子分解问题，应用得到的原子分解定理分别证明了弱Hardy型鞅空间之间，弱Hardy型与弱Garsia型鞅空间之间的嵌入关系，从而讨论Banach空间值弱鞅空间的相互嵌入关系与Banach空间的几何性质如凸性与光滑性之间的密切联系. 第六章主要讨论了经典鞅变换算子在实值弱鞅空间上的有界性，并应用第四章建立的原子分解定理证明了鞅变换算子在Banach空间值弱鞅空间上的有界性. 本文主要在以下四个方面有所创新：第一，将经典鞅空间理论中的鞅不等式推广至弱鞅空间中；第二，研究了由一般鞅算子生成的Banach空间值弱鞅空间的原子分解，为研究由具体算子和生成的特殊弱鞅空间的原子分解问题提供了统一的方法；第三，研究了Banach空间值弱Hardy鞅空间之间，弱Hardy型与弱Garsia型鞅空间之间的嵌入关系，用原子分解的存在性及弱鞅空间之间的嵌入关系刻划了Banach空间的凸性和光滑性；第四，作为原子分解定理的应用，研究了鞅变换算子在弱鞅空间上的有界性.