关于复杂散射体声波散射与逆散射问题的研究

摘要

本文主要研究关于复杂散射体时谐声波的正散射与逆散射问题.首先我们考虑了含有裂缝的不可穿透有界散射体的散射和含有裂缝的可穿透有界散射体的散射的正问题，其中散射体D为平面R2上的有界区域，裂缝Г为D外部的一段光滑的开圆弧，边界()D∈C2，Г∈C2，波数k，k0和系数λ，λ0，μ皆为正实数，u满足Sommerfeld辐射条件我们分三步得到解的存在和唯一性.第一步，建立解的唯一性；第二步，应用单层和双层位势理论将问题转化为边界积分系统；第三步，以位势理论为工具，验证边界积分算子是零指标的Fredholm算子和单射算子，再根据Fredholm理论导出边界积分系统解的存在和唯一性。
　　 然后考虑了具有混合边界条件的不可穿透有界散射体的散射的正问题和逆问题，其中D表示平面R2上的有界散射体，边界Г=ГD∪ГN∪ГI∪S，S为Г上的孤立点.波数k和系数λ都是正实数，u满足Sommerfeld辐射条件.在应用上述方法得到正问题解的存在和唯一性后，我们着重研究相应逆问题的数学基础，即我们从理论上证明如何利用线性抽样方法通过远场信息重构散射体D的形状，具体方案是先建立远场方程Fg=Ф∞，再将远场算子分解为F=-FM-1H，最后验证算子H具有稠密的值域和F是具有稠密值域的单射算子等性质。