关于一类带电磁位热的Schr?dinger方程的解的存在性的研究

摘要

本文主要研究一类带电磁位势的非线性Schr(o)dinger方程的解的存在性. 在第一章中，我们概述本文所研究问题的主要背景及国内外研究现状和已有的结果，并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号. 在第二章中，我们研究下述带电磁位势的非线性Schr(o)dinger方程（(ε)/i▽-A（y））2u+u=Q(t)|u|q-2u，u:RN(→)C，(E1)其中A（y）=（A1（y），A2(y)，…，AN（y））为向量函数，Aj(y)(j=1，2，…，N)是RN上的有界的实函数，Q（y）是RN上有界的正的连续函数，当N≥3时，2＜q＜2N/N-2;当N=1，2时2＜q＜+∞.我们证明了在给定的条件(H1)，（H2）和（H3）下(E1)有无穷多个多峰复值解.我们的结果推广了Noussair和Yan文献[60]中的结果，他们考虑(E1)中A（y）≡0的情况. 在第三章中，我们研究下述带电磁位势的非线性Schr(o)dinger方程（▽/i-A(|y|)）2u+V（|y|）u=|u|p-1u，u:RN(→)C，（E2）其中A（y）=(A1(y)，A2（y），…，AN（y））为向量函数，Aj(y)(j=1，2，…，N)是R+×RN-2上的实函数，V（y）是R+×RN-2上的正函数，当N≥3时，1＜p＜N+2/N-2;当N=1，2时1＜p＜+∞.我们证明了在一定条件下（E2）有无穷多个非径向的复值解.这个结果推广了Li，Peng和Wang文献[55]中的结果，我们是在更弱的对称条件和A0≠0的条件下考虑（E2）解的存在性. 在第四章中，我们研究下述带电磁位势的非线性Schr(o)dinger方程(▽/i-A(ε)(x))2u+V(ε)(x)u=f（u），x∈RN，（E3）其中A(ε)(x)=(A(ε)，1(x)，A(ε)，2(x),…，A(ε)，N(x))是向量函数，A(ε),j(x)(j=1，2，…，N)是RN上的连续有界的实函数，V(ε)(x)是电位势.假设A(ε)(x)和V(ε)(x)满足某些衰减性条件，应用两次有限约化方法和局部能量方法，我们证明了存在(ε)0＞0使得，对任意的0＜(ε)＜(ε)0，（E3）有无穷多个复值解.我们的结果推广了Ao和Wei文献[7]中的部分结果，他们考虑（E3）中A(y)≡0的情况.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 问题的背景及研究现状

1．2 本文的记号

1．3 本文的主要工作

1．4 结构安排

第二章 带电磁位势的非线性Schr?dinger方程的多峰解

2．1 问题的提出及主要结果

2．2 变分约化

2．3 技巧性估计

2．4 主要结果的证明

2．5 本章用到的一些基本不等式和结果

第三章 带电磁位势的非线性Schr?dinger方程的无穷多个解

3．1 问题的提出及主要结果

3．2 变分约化

3．3 技巧性估计

3．4 主要结果的证明

3．5 本章用到的一些基本不等式和结果

第四章 带非对称电磁位势的非线性Schr?dinger方程的无穷解

4．1 问题的提出及主要结果

4．2 变分约化

4．3 二次Liapunov-Schmidt约化

4．4 主要定理的证明

4．5 本章用到的一些估计

第五章 问题和展望

A 附录

参考文献

研究生期间已发表和待发表的论文

致谢