DSC核在数值求解PDE中的应用

摘要

传统的数值求解偏微分方程(PDE)的算法包括以有限差分、有限元为代表的局部法和以谱方法为代表的整体法。近年来，Wei,Hoffman等人提出了一种所谓离散奇异卷积(DSC)的算法，这种算法兼具整体法的精确性和局部法的灵活性。DSC算法不同的奇异核及其衍生算法已成功地应用到弹性力学、流体力学和数字信号处理等多个领域。DSC算法的意义在于：DSC算子可以看作是一种微分算子，具有形式简单、结构统一，精度较高的特点；另一方面，DSC核与小波函数有着密不可分的联系。因此，DSC算法有利于偏微分方程数值解和小波分析这两个学科的交叉融合。非线性PDE的求解一直是科学计算中的难题，DSC算法在求解非线性PDE，特别是流体力学的问题计算中也存在数值解振荡的问题。因此，利用小波分析这一强大的时-频分析工具针对DSC算法的特点，寻求合适的抑制振荡的各种格式、算法是DSC算法求解PDE中的一个重要课题。本文利用小波分析理论，对DSC算法求解线性、非线性偏微分方程作出了补充和改进，主要内容体现在两方面，一是利用Daubechies小波函数的尺度函数作自相关，构造了一种新的DSC核。这种DSC和具有内插、对称、紧支的特点，在某些情况下求某些方程具有优越性；二是分析了DSC算法在求解非线性方程中的数值解振荡问题，利用小波变换理论分析了振荡解的奇异性，探讨了该奇异性在小波变换的特点，从而能构造了DSC-Wavelet迭代算法抑制振荡。并从频域角度揭示了迭代算法的机制。本文是对于小波分析应用于偏微分方程数值解的一种新的尝试。文章从频域的角度，不仅将DSC核看作一种微分算子，还将其看作是滤波器组，同时也将方程的解视作带有奇异性的信号。未囿于方程本身的特性，从数值信号处理的角度对含有振荡的数值解进行分析处理。最后，通过一种非线性发展型方程―Burger’s方程及其初始问题验证了DSC-Wavelet算法的有效性和这种思想的可行性。