一类分数随机微分方程解的存在唯一性

摘要

随着金融市场不断发展与金融产品的不断创新,人们发现金融市场资产价格变化过程和Gaussian过程是有差异的,其常常表现出一种序列相关性,而分数Brown运动所具有的自相似性与长期记忆性等特征和自然现象以及社会现象的内在特性有高度的吻合性,所以分数Brown运动在金融、水文、信息以及随机网络等领域都得到了广泛的应用。
　　主要工作有:本文的研究对象是Hurst指数H=1/3时的一类分数随机微分方程,首先,利用随机积分的理论和Picard逐步逼近给出了该类特殊的分数随机微分方程解的存在唯一性定理;其次,给出了该类分数随机微分方程解的p阶矩估计不等式;最后,给出了该类分数随机微分方程解的不同时刻的矩估计不等式。
　　全文共分成五章:第一章为绪论,介绍了问题的研究背景、研究概况和研究意义,并给出了本文的主要研究内容。第二章作为预备知识,首先对主要概念和符号进行了说明,然后介绍了分数Brown运动的定义和性质,后阐述了关于分数Brown运动的随机积分,最后对证明过程中所需不等式进行了说明。第三章给出了Hurst指数H=1/3的分数随机微分方程解的存在唯一性定理。在证明该定理之前给出了相关引理及其证明,后利用Picard逐步逼近的方法证明了该定理的存在唯一性。第四章首先给出了分数随机微分方程解的p阶矩估计;后给出解所对应的不同时刻的估计。第五章作为论文的最后,总结了论文的创新点,并提出了论文的改进方向。

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1 绪 论

1.1 随机微分方程的研究背景

1.2 本文的主要结构

2 预备知识

2.1 主要基本概念和符号说明

2.2 分数Brown运动的定义和基本性质

2.3 关于分数Brown运动的随机积分

2.4 分数阶的Maruyama表示

2.5 预备定理及重要不等式

2.6 本章小结

3 一类分数随机微分方程解的存在唯一性

3.1 引言

3.2 基于分数阶Maruyama表示的分数随机微分方程

3.3 分数随机微分方程解的存在唯一性

3.4 本章小结

4 解的估计

4.1 引言

4.2 分数随机微分方程解的p阶矩估计

4.3 分数随机微分方程解的不同时刻的矩估计

4.4 本章小结

5 结论与展望

5.1 课题结论

5.2 课题展望

致谢

参考文献