基于光滑有限元法的二维和三维维声学问题数值模拟研究

摘要

声学问题可以说是与我们的日常生活息息相关，因此研究声学问题对于实际的工程应用具有十分重要的意义。实质上，解决声学问题就是求解理想流体介质当中的Helmholtz方程，对于几何形状非常简单的声学问题，Helmholtz方程是有解析解的，但是对于现实中具有复杂几何形状的声学问题，往往是很难得到解析解的。由于解析解的局限性，很多学者提出了一系列的数值方法来求解声学问题。
　　众所周知，有限元方法是在解决声学问题当中发展最成熟运用最广泛的数值方法，但是，由于有限元模型“过刚”的固有特性，使得有限元方法提供的计算模型刚度要刚于模型的真实刚度，导致有限元方法在求解声学问题时只能在低频范围内得到较为准确的结果。随着计算波数或计算频率的增大，有限元解的误差将会迅速增大。光滑有限元方法能够在一定程度上“软化”原来“过刚”的有限元模型，因此与有限元方法相比，光滑有限元方法在计算精度上有了很大的提高和改善。正因为光滑有限元法方法拥有如此良好的特性，近年来光滑有限元方法已经在力学和声学等许多方面得到了广泛的应用。论文作者运用光滑有限元方法来求解多维声学问题以及声固耦合问题，主要工作如下：
　　1)运用基于边的光滑有限元法方法分别选取三节点的三角形单元和四节点的四边形单元来求解二维声学问题。在基于边的光滑有限元模型当中，首先基于三角形或者四边形的边形成一个个光滑域，然后将问题的梯度场在每个光滑域上运用梯度光滑技术进行光滑操作。经过这样的光滑操作后，光滑有限元模型的刚度要柔于原来的有限元模型，从而更接近于系统的真实刚度，进而在声学问题计算时可以有效地减少数值误差。
　　2)运用基于面的光滑有限元方法来求解三维声学问题。由于四面体单元比较简单并且可以自动地通过商业软件生成，因此本文在这里选用四面单元，在基于面的光滑有限元模型当中，系统的刚度矩阵是通过计算光滑域上光滑的应变形成的，而这里的光滑域是基于四面体的面形成的，一些典型的数值结果已经证明了基于面的光滑有限元方法在计算三维声学问题时的有效性和正确性。
　　3)运用基于边的光滑有限元方法采用三角形单元进行网格划分对Reissner-Mindlin板进行了静力分析和模态分析，在处理剪切应变的时候采用了离散剪切间隙方法来避免板在弯曲过程当中产生的剪切自锁效应。
　　4)运用光滑有限元方法求解了声固耦合问题，分别运用三节点的三角形单元和四节点的四面单元对二维空间和三维空间进行网格划分，分别在基于边形成的结构光滑域和基于面形成的流体光滑域上运用应变光滑技术进行光滑操作，由于这种光滑操作产生的―柔化‖效应，使得光滑有限元方法在求解声固耦合问题的求解精度方面有了很大的改善。

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1 绪论

1.1 课题的研究背景、目的和意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文的主要工作

1.4 本文的创新点

2 光滑有限元法的基本理论

2.1 概述

2.2 光滑有限元求解问题的一般步骤

2.3 光滑域的形成

2.4 光滑的应变场的建立

2.5 基于边/面应变梯度光滑技术的操作过程

2.6 本章小结

3 计算二维声场问题的光滑有限元法

3.1 二维声场问题的描述

3.2 二维声场问题的三角形单元光滑有限元算

3.4 二维声场问题的四边形等参单元光滑有限元算法

3.5 本章小结

4 计算三维维声学问题的光滑有限元算法

4.1 概述

4.2 数值算例

4.3 本章小结

5 光滑有限元法求解弹性板动力学问题

5.1 一阶Reissner-Mindlin弹性板理论

5.2 避免弹性板剪切自锁的DSG方法

5.3 基于边的应变光滑技术

5.4 数值算例

5.6 本章小结

6 计算三维结构-声耦合问题的光滑有限元算法

6.1 引言

6.2 结构-声耦合问题的描述

6.3 结构-声耦合问题系统模型的建立

6.4 数值算例

6.4 本章小结

7 结论和展望

7.1 全文总结

7.2 研究展望

致谢

参考文献

附 录 攻读硕士期间发表的学术论文