n维高阶Schrödinger方程的唯一连续性

摘要

Schr¨dinger方程是量子力学中的一个基本方程，在量子力学及其应用领域具有重要的研究价值，一直深受数学学家和物理学家的广泛关注．对于Schr¨dinger方程，国内外对其已有大量的研究并取得了辉煌的成就，尤其是对其解的唯一连续性是现在Schr¨dinger方程研究的热点问题．目前，关于Schr¨dinger方程的唯一连续性，大都是针对二阶的情形对其解的性质深入研究，而对于高阶的情形，只是讨论了一维情况下的解的唯一连续性．
　　本文结合已掌握的知识和有关Schr¨dinger方程的理论，对n维高阶Schr¨dinger方程的解的唯一连续性进行了讨论．本文的目的是通过分析在两个不同时刻t0=0和t1=1方程的解u的行为来得到充分的条件，以保证u≡0是方程的唯一解．第一章介绍了Schr¨dinger方程有关的理论知识，本文的主要结果及一些符号和不等式说明．第二章首先对高阶Schr¨dinger算子建立一个适当的Carleman估计，然后利用所做的Carleman估计证明高阶Schr¨dinger方程在零的邻域上的解的唯一连续性．第三章主要研究高阶Schr¨dinger方程解的全局唯一连续性，通过证明某些量的对数凸性性质来估计在无穷远处的指数衰减性，从而得到指数衰减权估计．然后，利用所得的指数衰减估计和第二章的局部唯一连续性，就可得到n维高阶Schr¨dinger方程在Rn×[0,1]上的唯一连续性．

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1 绪论

1.1 研究背景及发展现状

1.2 本文的主要研究结果及安排

1.3 符号说明及常用不等式

2 高阶Schr?dinger方程在0的邻域上的唯一连续性

2.1 Carleman估计

2.2 局部唯一连续性

3 高阶Schr?dinger方程在Rn上的唯一连续性

3.1 一些引理及推论

3.2 定理1.1及推论1.1的证明

结 束 语

致谢

参考文献