开孔板结构应力及稳定性半解析分析方法研究

摘要

含有开孔的各种板结构广泛地应用于工程结构中。由于开孔的存在，其应力集中问题和稳定性问题是结构设计中需要关注的两个重要问题。因此，对开孔板结构的应力及稳定性问题进行研究具有重要的理论意义和实用价值。
　　本文提出了一种新的求解含有任意开孔形状有限平板的平面应力分布问题和弯曲应力分布问题的半解析方法；并在此基础上，提出了一种新的求解开孔平板和开孔加筋板稳定性问题的半解析方法。论文主要的研究工作包括以下几个方面：
　　首先，对含任意开孔形状的开孔有限平板在面内均布载荷作用下的应力分布问题，提出了一种基于平面问题复变函数方法的半解析方法，即平面应力问题的应力函数重构法。这个方法第一步是考虑含开孔无限大板的情况，通过保角映射变换将在物理平面内（z平面）的开孔及开孔外部的无限大区域映射到映射平面内（ζ平面）的单位圆及单位圆外部的无限大区域。通过Cauchy积分求解得到开孔无限大板在ζ平面内的应力函数；第二步是再考虑开孔有限板的情况，在ζ平面内，将求得的开孔无限大板应力函数的两组特征项进行扩展，重新构造得到开孔有限板在ζ平面内的应力函数；第三步通过最小二乘边界配置法来确定应力函数未知的待定系数，最终求得开孔有限板的整个应力场。
　　其次，对该方法进行验证及参数分析。针对七种不同开孔形状的无限大板和有限板，采用该方法进行平面应力分布计算，并与有限元ANSYS计算结果和已有解析结果进行对比验证。结果表明，开孔足够大时，平面应力问题的无限大板理论将不适用，而本文所提出的应力函数重构法计算简便、适用性强、计算精度高，可适用于具有不同开孔形状的无限板和有限板。采用该方法研究了几种不同开孔形状的无限板和有限板分别在单向拉伸、双向拉伸、剪切载荷作用下，开孔大小对孔边应力分布和应力集中的影响。并针对矩形开孔的应力分布及应力集中，进一步分析了开孔大小、开孔角度、矩形板边长比的影响。
　　接着，针对开孔板弯曲应力分布问题，基于薄板小挠度弯曲理论的复变函数方法，提出了一种新的求解含有任意开孔形状有限板弯曲应力分布问题的半解析方法，即弯曲应力问题的应力函数重构法。针对四种不同开孔形状的无限板和有限板，采用该方法进行弯曲应力分布计算，并与有限元ANSYS计算结果和已有解析结果进行对比。计算结果表明，该方法适用性强、计算简便、计算精度高，可适用于具有不同开孔形状的无限大板和有限板。针对一对边具有均布弯矩作用的四种开孔形状的无限大板和有限板，采用该方法研究了开孔大小对孔边应力分布和应力集中的影响。
　　然后，针对含有矩形开孔的受压矩形平板总体稳定性进行了半解析分析。先采用前面提出的求解开孔板平面应力分布问题的应力函数重构法精确地求解开孔板的内力分布。再采用区域分解法求出含矩形开孔的矩形平板挠曲面函数，该挠曲面函数不仅满足开孔板的外边界条件，还满足开孔板的内边界条件（矩形孔边的边界条件）；基于求得的内力分布和挠曲面函数，通过能量法求出其临界屈曲载荷，并与有限元ANSYS计算结果进行对比。计算结果表明，该方法计算精度高。采用该方法讨论了在四边简支、四边固支、承载边简支无载边自由、承载边固支无载边自由四种典型边界条件下，开孔大小对其稳定性的影响。
　　最后，针对含有矩形开孔的受压加筋板总体稳定性进行了半解析分析。将加筋板结构简化处理为板和梁的组合。与求解开孔平板稳定性问题相似，将采用应力函数重构法求得的开孔平板的内力分布作为开孔加筋板铺板的内力分布；采用区域分解法求得满足含矩形开孔加筋板的内外边界条件的挠曲函数；并进一步求得板和梁的弯曲应变能及外力功。再通过能量法求出其临界屈曲载荷，并与有限元ANSYS结果进行对比。计算结果表明，针对几种典型开孔加筋板形式，当开孔大小在不超过某个值的范围内，计算结果误差较小。在不同边界条件下，讨论了开孔大小对其稳定性的影响。
　　本文的研究成果对开孔板结构的理论研究和工程设计具有一定的参考价值。

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1 绪论

1.1 引言

1.2 国内外研究现状分析

1.3 本文的主要研究内容

2 开孔有限板平面应力问题的半解析求解方法

2.1 二维平面弹性理论

2.2 开孔有限板应力分析的应力函数重构法

2.3 求解开孔有限板应力的算法流程

2.4 本章小结

3 含不同开孔形状的开孔有限板孔边应力分布

3.1计算对象及其有限元模型

3.2验证及分析

3.3计算结果及分析

3.4本章小结

4 开孔有限板孔边弯曲应力分布的半解析求解方法

4.1薄板小挠度弯曲的复变函数解法

4.2开孔有限板弯曲应力分析的应力函数重构法

4.3算例及分析

4.4本章小结

5 含矩形开孔的矩形板稳定性半解析分析

5.1 弹性薄板理论

5.2 含矩形开孔的开孔平板弹性屈曲分析方法

5.3 算例及分析

5.4 本章小结

6 含矩形开孔的加筋板稳定性半解析分析

6.1 含矩形开孔的加筋板弹性屈曲分析方法

6.2 算例及分析

6.3 本章小结

7 全文总结

7.1 全文的工作及主要结论

7.2 本文工作的主要创新点

7.3 对未来工作的展望

致谢

参考文献

附录1 平面应力分布问题部分Maple程序

附录2 攻读学位期间发表论文目录

附录3 攻读学位期间参加的科研项目