分形投影的发展

摘要

本文介绍了投影的相关理论在分形几何中的发展，行文主要围绕John Marstrand1954年发表的一篇涉及到分形投影的论文展开。本文正文主要内容可分为3大部分。
　　第一部分：主要介绍了Marstrand论文中的两个著名的投影定理。
　　第二部分：主要介绍了Kaufman给出的投影定理的一个较Marstrand给出的证明而言更具启发性且过程更简洁的一个证明,它利用势能定理和傅里叶变换证明了投影定理。
　　第三部分：主要介绍了投影在发展的过程中拓展出来的一系列在集合中的理论。有整数维集合、自相似集和自仿集、随机集中投影的一系列理论。接下来又介绍了在受限制方向上的投影理论、投影在填充维数下的相关理论、投影理论的进一步推广和应用。
　　本文首先介绍了John Marstrand的论文中介绍的关于s-集的两个投影定理。在此基础上，Roy Davies根据下面的一个结论，即具有无穷大的s-维Hausdorff测度的每一个Borel集都包含一个s-集，给出了R2中的Borel集投影到方向为?的直线上后其维数和测度的变化情况的一个定理。Marstrand的投影定理尽管很有用，但是由于他给出的证明过于复杂，非常不便于定理的总结和延伸，因此Kaufman利用势能理论和傅里叶变换给出了它的一个更为简洁的证明。而Mattila从Kaufman的证明过程中获得启示，得到了从高维空间到子空间的投影的一些理论。另外，从Kaufman的证明过程中发现在某些例外集上不满足投影定理，得到一系列的结论，且其中关于参数?的积分的性质在许多其他参数化的映射中也成立，从而引出了广义投影的概念。Jarvenpaa将投影定理的相关结论从Hausdorff维数迁移到了填充维数的条件下，得到填充维数下投影的一些结论。随后相继出现了整数维集合、自相似集和自仿集以及随机集在受限制方向上的投影的一系列结论。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

1 绪论

1.1问题的研究背景与意义

1.2本文的主要结构和安排

2 预备知识

3 正交投影的起源

4 投影定理的证明

5 投影在集合上的相关理论

5.1例外集

5.2整数维的集合

5.3自相似集和自仿集

5.4随机集

6 不同的被投影对象和投影条件下一些结论

6.1在特殊方向上的正交投影

6.2广义投影

6.3在其它特殊对象上的广义投影

7 填充维数下投影的一些结论

8 结束语

致谢

参考文献