非局部Kirchhoff型微分方程Dirichlet问题解的存在性

摘要

近几年,非局部偏微分方程在很多领域有非常广泛的应用,如连续介质力学,相变形象,人口动力学和博弈论等.非局部方程在理论物理,金融系统和流体力学等等领域中已经得到了广泛的应用,分数阶的微分方程在各个方面比整数阶的偏微分方程能够更加精确的把自然中的一些东西刻画出来,能够把生活中的动态过程更好的模拟出来.分数阶方程是对整数阶方程的推广.本文通过变分法讨论了非局部K irchhof f型微分方程的解的存在性.本文考虑如下的问题：此处公式省略
　　其中D是Rn中的有界区域, n≥4, u∈Hα/2(D),0<α<2.非局部算子Aα定义如下:此处公式省略
　　第一章,主要描述了非局部偏微分方程的选题的一些背景、意义和国内外研究的近况以及本文的主要内容及其结论.
　　第二章,介绍了泛函分析的基础知识, Sobolev空间,非局部算子理论和变分法的一些预备知识.
　　第三章,本文将通过当λ>0且充分小时证明出泛函满足山路引理的几个条件,从而得出泛函具有临界序列,再证明临界序列有界,且临界序列满足P?S条件,证明出本文所对应的能量泛函具有临界点列,方程有一个非平凡弱解,其次是λ>0并且充分小时,通过求泛函极小值,证明出方程至少有两个非平凡弱解.再证明λ<0时泛函满足山路引理条件,证明方程有一个非平凡弱解.
　　第四章,介绍本课题的一些展望,其内容主要包括:非局部算子在无界区域上的定义和其解的存在性与在全空间时,泛函的解的存在性.